- •Лекция 1
- •Введение
- •Метрические пространства. Определения и примеры
- •Лекция 2
- •Непрерывные отображения метрических пространств
- •Сходимость
- •Лекция 3
- •Замыкание
- •Замкнутые множества
- •Лекция 4
- •Открытые множества
- •Полные метрические пространства
- •Лекция 5
- •Теорема о вложенных шарах
- •Плотные подмножества. Теорема Бэра
- •Лекция 6
- •Полнота и разрешимость уравнений
- •Пополнение пространства
- •Лекция 7
- •Принцип сжимающих отображений
- •Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям
- •Раздел II: Линейные метрические пространства и функционалы
- •Лекция 8
- •Нормированные пространства
- •Евклидовы пространства
- •Лекция 9
- •Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации
- •Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя
- •Лекция 10
- •Теорема об изоморфизме
- •Подпространства, ортогональные дополнения
- •Лекция 11
- •Функционалы: основные определения и примеры
- •Компактность и полная ограниченность
- •Лекция 12
- •Свойства непрерывных линейных функционалов
- •Лекция 13
- •Сопряженное пространство
- •Теорема об общем виде непрерывного линейного функционала на полном евклидовом пространстве
- •Лекция 14
- •Второе сопряженное пространство
- •Слабая сходимость
- •Лекция 15
- •Обобщенные функции
- •Производная обобщенной функции
- •Лекция 16
- •Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций
- •Лекция 17
- •Обобщенные функции нескольких переменных
- •Свертка обобщенных функций
- •Раздел III: Линейные операторы в пространствах Банаха
- •Лекция 18
- •Линейные операторы: основные определения
- •Норма оператора
- •Лекция 19
- •Пространство ограниченных линейных операторов
- •Компактные операторы
- •Лекция 20
- •Принцип равномерной ограниченности
- •Лекция 21
- •Замкнутые операторы
- •Теорема о замкнутом графике
- •Лекция 22
- •Сопряженный оператор
- •Операторные уравнения
- •Обратный оператор
- •Лекция 23
- •Непрерывная обратимость
- •Достаточные условия непрерывной обратимости
- •Лекция 24
- •Спектр оператора. Резольвента
- •Спектр компактного оператора
- •Раздел IV: Операторные уравнения в пространствах Гильберта
- •Лекция 25
- •Продолжение линейного непрерывного оператора на пополнение. Пространство Лебега
- •Множества меры нуль. Сходимость почти всюду
- •Лекция 26
- •Функции, интегрируемые по Лебегу
- •Основные свойства интеграла Лебега
- •Кратный интеграл Лебега
- •Лекция 27
- •Сопряженный оператор. Случай евклидовых пространств
- •Самосопряженные операторы
- •Лекция 28
- •Собственные значения самосопряженных операторов
- •Лекция 29
- •Базисы со свойством двойной ортогональности
- •Лекция 30
- •Теорема об итерациях операторов
- •Условия разрешимости уравнений первого рода
- •Лекция 31
- •Операторные уравнения второго рода
- •Теоремы Фредгольма
- •Лекция 32
- •Замечания к теоремам Фредгольма
- •Следствия из теорем Фредгольма
- •Лекция 33
- •Линейные интегральные уравнения второго рода
- •Лекция 34
- •Уравнения с вырожденными ядрами
- •Уравнения Вольтерра
- •Заключительные замечания
- •Список литературы
202
функций c равномерно ограниченными интегралами, Rab xn(t) dt
п.в.
C. Если xn ! x(t) при n ! 1, то x(t) 2 L1[a; b] и
Rab x(t) dt C.
Доказательство. Как в доказательстве теоремы Лебега об ограниченной сходимости, положим
'n(t) = inffxn(t); xn+1(t); : : :g:
Тогда f'n(t)g неубывающая последовательность, |
|
||
|
п.в. |
п.в. |
|
|
lim 'n(t) = |
lim xn(t) = x(t) |
|
|
n!1 |
n!1 |
|
и |
ab 'n(t) dt ab xn(t) dt C. Значит, по теореме Беппо Леви, |
||
x(Rt) 2 L1[a; b] иRRab x(t) dt = limn!1 Rab 'n(t) dt C. |
|
4.2.3Кратный интеграл Лебега
Если при построении пространства и интеграла Лебега начать не
с пространства L1[a; b], а с пространства непрерывных функций |
|||
L1(P ), где P =e[a1; b1] [an; bn] прямоугольный парал- |
|||
e |
R |
n, а норма задается формулой |
|
лелепипед в |
|
||
jjx(t1; : : : ; tn)jj = Z Z |
ZP jx(t1; : : : ; tn)j dt1 dtn; |
то мы получим пространство интегрируемых по Лебегу функций нескольких переменных L1(P ), а интеграл Римана на Le1(P ) продолжится до интеграла Лебега на L1(P ). Все доказанные выше теоремы для случая интеграла Лебега на [a; b] либо дословно переносятся, либо легко обобщаются на случай кратного интеграла Лебега. Но следующая важная теорема описывает новую, часто встречающуюся в приложениях, ситуацию.
Теорема 4.2.6. (Фубини) Если x(t; s) 2 L1([a1; b1]
203
[a2; b2]), то при почти всех t 2 [a1; b1] существует интеграл
R |
b2 |
|
|
1 1 |
R |
b2 |
|
|
a2 x(t; s) ds и соответствие t |
7!a2 x(t; s) ds определяет ин- |
|||||
тегрируемую на [a ; b ] функцию, причем |
|
||||||
|
b |
|
b |
x(t; s) ds dt = |
Z Z[a1;b1] [a2;b2] |
|
|
|
Za1 |
1 |
Za22 |
x(t; s) dt ds: |
Аналогичная теорема справедлива и для интегрируемых функций большего числа переменных, их можно интегрировать последовательно по каждой переменной или по отдельным группам переменных или по всем переменным, как и в классическом анализе.