- •Лекция 1
- •Введение
- •Метрические пространства. Определения и примеры
- •Лекция 2
- •Непрерывные отображения метрических пространств
- •Сходимость
- •Лекция 3
- •Замыкание
- •Замкнутые множества
- •Лекция 4
- •Открытые множества
- •Полные метрические пространства
- •Лекция 5
- •Теорема о вложенных шарах
- •Плотные подмножества. Теорема Бэра
- •Лекция 6
- •Полнота и разрешимость уравнений
- •Пополнение пространства
- •Лекция 7
- •Принцип сжимающих отображений
- •Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям
- •Раздел II: Линейные метрические пространства и функционалы
- •Лекция 8
- •Нормированные пространства
- •Евклидовы пространства
- •Лекция 9
- •Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации
- •Коэффициенты Фурье. Неравенство Бесселя
- •Лекция 10
- •Теорема об изоморфизме
- •Подпространства, ортогональные дополнения
- •Лекция 11
- •Функционалы: основные определения и примеры
- •Компактность и полная ограниченность
- •Лекция 12
- •Свойства непрерывных линейных функционалов
- •Лекция 13
- •Сопряженное пространство
- •Теорема об общем виде непрерывного линейного функционала на полном евклидовом пространстве
- •Лекция 14
- •Второе сопряженное пространство
- •Слабая сходимость
- •Лекция 15
- •Обобщенные функции
- •Производная обобщенной функции
- •Лекция 16
- •Дифференциальные уравнения в классе обобщенных функций
- •Лекция 17
- •Обобщенные функции нескольких переменных
- •Свертка обобщенных функций
- •Раздел III: Линейные операторы в пространствах Банаха
- •Лекция 18
- •Линейные операторы: основные определения
- •Норма оператора
- •Лекция 19
- •Пространство ограниченных линейных операторов
- •Компактные операторы
- •Лекция 20
- •Принцип равномерной ограниченности
- •Лекция 21
- •Замкнутые операторы
- •Теорема о замкнутом графике
- •Лекция 22
- •Сопряженный оператор
- •Операторные уравнения
- •Обратный оператор
- •Лекция 23
- •Непрерывная обратимость
- •Достаточные условия непрерывной обратимости
- •Лекция 24
- •Спектр оператора. Резольвента
- •Спектр компактного оператора
- •Раздел IV: Операторные уравнения в пространствах Гильберта
- •Лекция 25
- •Продолжение линейного непрерывного оператора на пополнение. Пространство Лебега
- •Множества меры нуль. Сходимость почти всюду
- •Лекция 26
- •Функции, интегрируемые по Лебегу
- •Основные свойства интеграла Лебега
- •Кратный интеграл Лебега
- •Лекция 27
- •Сопряженный оператор. Случай евклидовых пространств
- •Самосопряженные операторы
- •Лекция 28
- •Собственные значения самосопряженных операторов
- •Лекция 29
- •Базисы со свойством двойной ортогональности
- •Лекция 30
- •Теорема об итерациях операторов
- •Условия разрешимости уравнений первого рода
- •Лекция 31
- •Операторные уравнения второго рода
- •Теоремы Фредгольма
- •Лекция 32
- •Замечания к теоремам Фредгольма
- •Следствия из теорем Фредгольма
- •Лекция 33
- •Линейные интегральные уравнения второго рода
- •Лекция 34
- •Уравнения с вырожденными ядрами
- •Уравнения Вольтерра
- •Заключительные замечания
- •Список литературы
175
3.6Лекция 23
3.6.1Непрерывная обратимость
Пример 3.6.1. Рассмотрим ситуацию, когда X = C[a; b],
Y = C[a; b],
t
Z
(Ax)(t) = x( ) d :
a
Данный оператор линеен в силу линейности интеграла и непрерывен в силу следующей оценки:
t
Z
kAxk = max x( ) d (b a)kxk:
t2[a;b]
a
Кроме того, Ax = 0 влечет за собой x = d(Ax)=dt = 0, т.е. оператор инъективен, а значит, обратим. Очевидно, однако, что, решая уравнение Ax = y, мы получаем x = d(Ax)=dt = dy=dt. Поэтому A 1 = d=dt : C[a; b] ! C[a; b] не ограничен.
Пример 3.6.2. В пространстве C([0; 1]) рассмотрим линейный оператор
|
|
1 |
|
|
|
|
y(t) = (Ax)(t) = x(t) Z0 |
t s x(s) ds: |
|
Заметим, что x(t) = y(t) + c t, где c |
= |
01 s x(s) ds. Если |
||
y(t) 0, то x(t) = ct, откуда либо c = c |
01Rs2ds; либо x 0. |
|||
Поскольку |
01 s2ds = 1=3, то уравнение AxR |
= y имеет не более |
||
одного |
решения. |
|
|
|
|
R |
|
|
176
Интегрируя равенство tx(t) = ty(t) + c t2 на [0; 1], находим
1
3 Z
c = sy(s)ds:
2
0
Следовательно, при любой правой части y(t) решение уравнения
Ax = y имеет вид
1
x(t) = y(t) + 3 Z sy(s)ds = (A 1x)(t): 2
0
Легко видеть, что оператор A 1 непрерывен.
Определение 3.6.1. Оператор A : X ! Y называется непрерывно обратимым, если он обратим, и оператор A 1 : Y ! X
является непрерывным.
Таким образом, непрерывная обратимость соответствует условиям 2) единственности и 3) непрерывной зависимости от начальных данных в определении корректности по Адамару.
Пример 3.6.3. Если одно из пространств X или Y бесконечномерно, то линейный компактный оператор A не является непрерывно обратимым. В самом деле, пусть оператор A 1 существует и непрерывен. Тогда по теореме 3.2.3 операторы AA 1 = IY
и A 1A = IX являются компактными, что противоречит примеру 3.2.3.
Теорема 3.6.1. Для того чтобы линейный оператор A :
X ! Y в нормированных пространствах X и Y был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая постоянная m > 0, что
(3.6.1) kAxk mkxk для всех x 2 D(A):
177
Доказательство. Если обратный оператор A 1 существует и непрерывен, то он ограничен, а значит, существует такая постоянная C > 0, что для всех y 2 D(A 1) = R(A) мы имеем
kA 1yk kyk:
Полагая y = Ax, мы получаем (3.6.1), где m = kxk=C.
Обратно, если выполнено (3.6.1), то из Ax = 0 следует, что x = 0, т.е. ker A = 0. По предложению 3.5.2 оператор A обратим. Полагая в (3.6.1), x = A 1y, мы получаем
kA 1yk 1 kyk m
для всех y 2 R(A) = D(A 1), что и требовалось доказать.
Оказывается, в полных нормированных пространствах для доказательства корректности задачи достаточно доказать только теоремы существования и единственности.
Теорема 3.6.2. Линейный замкнутый оператор A : X ! Y, взаимно однозначно отображающий банахово пространство X на банахово пространство Y, непрерывно обратим.
Доказательство. В самом деле, из условия теоремы следует, что оператор обратим. Поскольку он замкнут, то обратный к нему тоже замкнут в силу теоремы 3.5.3 и, кроме того, по условию теоремы, он определен на всем пространстве Y. Значит, из теоремы о замкнутом графике следует, что обратный оператор непрерывен.
Следствие 3.6.1. (Теорема Банаха об обратном операторе) Линейный ограниченный оператор A : X ! Y, взаимно однозначно отображающий банахово пространство X на банахово пространство Y, непрерывно обратим.
178
Доказательство. Немедленно следует из теоремы 3.4.1 о за-
мкнутом графике и теоремы 3.6.2. |
|
3.6.2Достаточные условия непрерывной обратимости
Перейдем теперь к двум другим важным вопросам:
1)при каких условиях решения операторного уравнения существуют и
2)как их найти?
Пример 3.6.4. В пространстве Rn рассмотрим линейный оператор y = Ax, записанный в матричном виде (см. пример 3.1.6). Пусть jAj 6= 0. Тогда согласно правилу Крамера оператор A 1
существует и задается обратной к A матрицей.
Следующая теорема выделяет одно простое (хотя и достаточно ограничительное) условие, которое одновременно гарантирует единственность решения, существование решений для всех правых частей и непрерывную обратимость.
Теорема 3.6.3. Пусть X – банахово пространство, A 2 L(X)
и kI Ak < 1. Тогда оператор A непрерывно обратим, при этом
1
X
A 1 = (I A)j
j=0
и справедливы оценки
kA 1k |
1 |
|
; kI A 1k |
kI Ak |
: |
1 kI Ak |
|
||||
|
1 kI Ak |
|
Доказательство. Докажем сначала, что оператор A обратим, т.е., что ker A = 0. Пусть u 2 ker A. Тогда u = (I A)u, а
179
поскольку k(I A)k < 1, то kuk < k(I A)uk = kuk для всех u 6= 0. Следовательно, u = 0, что и требовалось.
Далее, рассмотрим в L(X) операторы
N
X
BN = (I A)j:
j=0
Так как k(I A)jk kI Akj, то для всех 1 k m мы имеем
|
|
N |
m |
|
|
kI Akk |
|
kBk Bmk = |
|
j |
j=k kI Ak |
j |
|
||
j=k(I A) |
|
1 kI Ak: |
|||||
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значит, последовательность fBN g фундаментальна в L(X) и в силу полноты этого пространства существует предел
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
(I A)j: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
B = Nlim BN = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
k k = N!1 k N k N!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
j=0( ) 1 kI Ak |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
B |
|
|
lim |
B |
|
|
|
lim |
|
X |
|
|
A j |
|
|
|
|
|
; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
kI Ak |
|
||
k |
I |
|
B |
k |
lim |
|
I |
|
B |
|
|
|
lim |
j=1( |
I |
|
A j |
|
|
: |
|||||
|
|
|
|
|
1 kI Ak |
||||||||||||||||||||
|
|
= N!1 k |
|
|
N k N!1 |
|
) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что B = A |
. В самом деле, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABN = [I (I A)] |
(I A)j = I (I A)N+1: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, учитывая непрерывность оператора A,
AB = A lim BN = I:
N!1
180
Следствие 3.6.2. Пусть Y – банахово пространство, A; B 2 L(X; Y ), оператор B непрерывно обратим, и
kI AB 1k < 1:
Тогда A непрерывно обратим и справедливы оценки
kA |
1 |
k |
kB 1k |
|
; kB |
1 |
A |
1 |
k |
kB 1kkI AB 1k |
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
: |
|||||
|
|
|
1 kI AB |
k |
|
|
|
|
1 kI AB |
k |
Доказательство. По условию оператор AB 1 2 L(Y ). Пользуясь теоремой 3.6.3, мы заключаем, что этот оператор непрерывно обратим.
Лемма 3.6.1. Пусть A 2 L(X; Y ), B 2 L(Y; Z) непрерывно обратимы. Тогда BA 2 L(X; Z) непрерывно обратим и
(BA) 1 = A 1B 1.
Доказательство. По условию леммы A 1B 1 2 L(Z; X): В
силу ассоциативности композиции операторов (A 1B 1)(BA) =
I. |
|
|
Тогда B 1(AB 1) 1 2 L(Y; X) также непрерывно обратим и |
(B 1(AB 1) 1) 1 = AB 1B = A:
Наконец, поскольку A 1 = B 1(AB 1) 1, то оценки на kA 1k и kI A 1k следуют из теоремы 3.6.3.
Следствие 3.6.3. Пусть Y – банахово пространство, A; B 2 L(X; Y ), оператор B непрерывно обратим, и
1 kB Ak < kB 1k:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
181 |
|
Тогда A непрерывно обратим и справедливы оценки |
|
|
|||||||||
kA |
1 |
k |
kB 1k |
kB |
1 |
A |
1 |
k |
kB 1k2kB Ak |
||
|
1 kB AkkB 1k |
; |
|
|
1 kB AkkB 1k |
: |
Доказательство. Вытекает из следствия 3.6.2, поскольку kI AB 1k = k(B A)B 1k kB AkkB 1k: