16

1.2Лекция 2

1.2.1Непрерывные отображения метрических пространств

Пусть X и Y – два метрических пространства с метриками X и Y

соответственно, а f – отображение пространства X в Y, т.е. каждому x 2 X ставится в соответствие некоторый элемент f(x) = y 2 Y . Часто отображения пространств называются операторами, функционалами или функциями, что отражает их природу – действие, переводящее элемент из одного пространства в другое.

Одной из центральных тем анализа является поиск условий разрешимости уравнения

(1.2.1)

f(x) = y

(здесь элемент y 2 Y задан, а элемент x 2 X неизвестен), а также построение его (точных и приближенных) решений. Уравнение (1.2.1) называется операторным уравнением первого рода.

Конечно, без дополнительных предположений о свойствах отображения f такая задача необозрима. В нашем курсе мы ограничимся непрерывными отображениями.

Определение 1.2.1. Отображение f : X ! Y называется

непрерывным в точке x0 2 X, если для всякого " > 0 существует такое > 0, что для всех x 2 X, удовлетворяющих X(x; x0) <, выполняется неравенство

Y (f(x); f(x0)) < ":

Отображение f : X ! Y называется непрерывным на X, если оно непрерывно в каждой точке X.

17

Конечно, из курса математического анализа вы уже знаете, что даже непрерывных отображений из пространства Rn в пространство R очень много, а их поведение может быть непредсказуемым. Для того чтобы эффективно получать информацию о наличии решений уравнения (1.2.1), нам придется сузить классы изучаемых непрерывных отображений и пространств. Например, ограничиться сжимающими, непрерывными линейными, компактными и т.д. отображениями нормированных, евклидовых пространств или других пространств.

Определение 1.2.2. Отображение f : X ! Y будем называть инъективным на X, если f(x1) 6= f(x2) при x1 6= x2. Отображение f : X ! Y называется сюрьективным на X, если f(X) = Y , т.е. для всякого y 2 Y найдется такой элемент x 2 X, что y = f(x). Отображение f : X ! Y называется биективным,

если оно инъективно и сюрьективно.

Если отображение биективно, то каждому y 2 Y поставим в соответствие x 2 X, такой, что f(x) = y. Определенное таким образом отображение называется обратным к f : X ! Y и обозначается f 1 (при этом f 1 : Y ! X).

Определение 1.2.3. Отображение f : X ! Y называется

гомеоморфизмом, а пространства X и Y называются гомеоморфными, если f является биективным и взаимно непрерывным (т.е. отображения f и f 1 являются непрерывными).

Определение 1.2.4. Отображение f : X ! Y называется

изометрией, а пространства (X; X) и (Y; Y ) называются изо-

18

метричными, если f является гомеоморфизмом и

X(x1; x2) = Y (f(x1); f(x2)):

Изометрия пространств X и Y означает, что как метрические пространства эти объекты не различимы; различной может быть лишь природа их элементов, что с точки зрения теории метрических пространств несущественно.

Пример 1.2.1. Пусть X = [ 1; 1], Y = [ 2; 2],

X(x1; x2) = jx1 x2j; Y (y1; y2) = jy1 y2j:

Тогда отображение f(x) = 2x является гомеоморфизмом, но не будет изометрией.

Пример 1.2.2. Пусть X = [ 1; 1], Y = [ 2; 2],

1

X(x1; x2) = jx1 x2j; Y (y1; y2) = 2jy1 y2j:

Тогда отображение f(x) = 2x является и гомеоморфизмом, и изометрией.

Пример 1.2.3. Пусть X = ( 1; 1), Y = ( 1; 1),

X(x1; x2) = jx1 x2j; Y (y1; y2) = jy1 y2j:

Тогда отображение f(x) = 2 arctg x является гомеоморфизмом, но не будет изометрией.

1.2.2Сходимость

Перейдем теперь к одному из базовых понятий анализа – предельному переходу. Для этого нам понадобятся несколько определений.

19

Определение 1.2.5. Последовательность fxngn2N точек метрического пространства X = (X; ) называется сходящейся, если найдется такая точка x 2 X, что для всякого " > 0 существует номер N 2 N, такой, что для всех n N мы имеем

(xn; x) < ". Точка x называется пределом последовательности fxng: limn!1 xn = x.

Предложение 1.2.1. Никакая последовательность метрического пространства не может иметь двух различных пределов.

Доказательство. Пусть имеется два различных предела последовательности fxng, скажем, x и y. Тогда по неравенству треугольника имеем:

(x; y) (x; xn) + (xn; y):

Переходя к пределу при n ! 1, заключаем, что (x; y) = 0.

Следовательно, x = y (см. аксиому 1) метрики ).

Предложение 1.2.2. Если последовательность точек метрического пространства сходится, то любая ее подпоследовательность сходится к тому же самому пределу.

Доказательство. Пусть имеется подпоследовательность

сходящейся последовательности fxng, скажем, fxnj g; причем limn!1 xn = x. Тогда limn!1 (xn; x) = 0. Поскольку f (xnj ; x)g является подпоследовательностью числовой последовательности f (xn; x)g, то по известной теореме из мате-

матического	анализа limnj!1 (xnj ; x) =	0. Следовательно,
limnj!1 xnj	= x. Применяя предложение	1.2.1, получаем
требуемое утверждение.

20

В курсе математического анализа сходимость описывалась также на языке окрестностей.

Определение 1.2.6. Открытым шаром B(x0; r) с центром в точке x0 радиуса 0 < r < 1 в метрическом пространстве X

называется множество точек x 2 X таких, что (x; x0) < r. Со-

ответственно, замкнутым шаром B(x0; r) с центром в точке x0

радиуса 0 r < 1 в метрическом пространстве X называется множество точек x 2 X, таких, что (x; x0) r.

Определение 1.2.7. Окрестностью точки x0 2 X будем называть любой открытый шар с центром в точке x0.

Опыт евклидова пространства говорит нам, что шар меньшего радиуса строго вложен в шар большего радиуса, если их центры совпадают. В произвольном метрическом пространстве это, вообще говоря, не так.

Пример 1.2.4. В дискретном пространстве X рассмотрим шары

B(x0; r) =	( X;	r > 1;		B(x0; r) =		( X;	r	1:
	x0;	0 r	1;			x0;	0	r < 1;

Для таких шаров имеет место включение B(x0; 3) B(x0; 2), точнее B(x0; 3) = B(x0; 2) = X.

На самом деле, возможно и строгое включение, когда

B(x; R) B(y; r), B(x; R) 6= B(y; r), R > r. Соответствующий пример будет рассмотрен на практических занятиях.

21

1.2.3Сходимость на языке окрестностей

Упражнение 1.2.1. Сами сформулируйте определение сходящейся последовательности на языке окрестностей. Докажите эквивалентность этого определения определению сходимости, сформулированному выше.

1.2.4Непрерывность по Гейне

Упражнение 1.2.2. Убедитесь в том, что непрерывные отображения метрических пространств – это те и только те отображения, для которых

n!1	n	) = f	n!1	n
lim f(x			lim x	;

для всякой сходящейся последовательности fxng из метрического пространства X (секвенциальная непрерывность или непрерывность по Гейне).

Таким образом, определенная нами операция предельного перехода дает возможность развивать анализ в более общей ситуации, чем в классическом курсе математического анализа – исследовать (непрерывные) отображения произвольных метрических пространств, а не только функций на подмножествах Rn. Однако для этого нам необходимо сначала изучить свойства самих метрических пространств, которые могут существенно отличаться от свойств евклидова пространства Rn.