28

1.4Лекция 4

1.4.1Открытые множества

Определение 1.4.1. Точка x 2 X называется внутренней точкой множества M, если существует окрестность B(x; r) этой точки, целиком лежащая в M. Точка x 2 X называется внешней точкой множества M, если существует окрестность B(x; r) этой точки, не содержащая ни одной точки из M. Точка x 2 X называется граничной точкой множества M, если в любом шаре B(x; r)

есть точки, принадлежащие M и точки, не принадлежащие M.

Границей множества M называется множество @M его граничных точек. Граничная точка M может как принадлежать M, так и не принадлежать.

Определение 1.4.2. Множество M, все точки которого внутренние, называется открытым.

Пример 1.4.1. Всякий интервал (a; b) R (a < b) есть открытое множество. Действительно, если a < x < b, то шар

B(x; r), где r = min(x a; b x) целиком содержится в интервале

(a; b).

Пример 1.4.2. Всякий открытый шар в метрическом пространстве X есть множество открытое. Действительно, пусть B(x0; r) – открытый шар в X. Если x 2 B(x0; r), то B(x; r1) B(x0; r), где r = r (x0; x), поскольку

(x0; y) (x0; x) + (x; y) < r

для y 2 B(x; r1).

29

Теорема 1.4.1. Для того чтобы множество M было открытым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение X n M

было замкнутым.

Доказательство. Если M открыто, то каждая точка из M

имеет окрестность, целиком принадлежащую этому множеству, т.е. не имеющую ни одной общей точки с X n M. Следовательно, ни одна из точек, не принадлежащих X n M не может быть точкой прикосновения для этого X nM, а значит, это последнее множество замкнуто.

Обратно, пусть X n M замкнуто. Тогда все точки, ему не принадлежащие, не являются для него предельными. Поэтому любая точка из M имеет окрестность, лежащую в M, т.е. M открыто.

Пример 1.4.3. Каково бы ни было пространство X, пустое множество ; и само X открыты. Это следует из примера 1.3.3 и теоремы 1.4.1, поскольку ; = X n X, X = X n ;.

Теорема 1.4.2. Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые множества.

Доказательство. Воспользуемся следующими хорошо извест-

ными формулами из теории множеств:
(1.4.1)	M ! = (X n M ) ; Xn	M !		(X n M ) :
Xn			=
[	\	\		[
2A	2A	2A		2A

Теперь очевидно, что утверждение теоремы вытекает из теорем

1.3.3 и 1.4.1.

30

1.4.2Полные метрические пространства

В определении сходящейся последовательности есть один очень существенный изъян – его невозможно проверить непосредственно, не зная самого предела. В рамках классического анализа этот вопрос решался с помощью теоремы Коши о фундаментальных последовательностях. Для произвольных метрических пространств ситуация более сложная.

Определение 1.4.3. Последовательность fxng точек метрического пространства X называется фундаментальной, если

для всякого " > 0 существует N" 2 N такое, что (xn; xm) < " для всех n > N" и m > N".

Лемма 1.4.1. Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной.

Доказательство. Пусть limn!1 xn = x. Тогда для всякого

" > 0 существует N" 2 N такое, что (xn; x) < "=2 для всех

n> N".

Всилу неравенства треугольника

(xn; xm) (xn; x) + (xm; x) < "

для всех n > N" и m > N".

Определение 1.4.4. Если в пространстве X всякая фундаментальная последовательность сходится, то это пространство называется полным.

Приведем примеры полных и неполных пространств.

lim x(m)

31

Пример 1.4.4. Конечный интервал X = (a; b) с метрикой (x; y) = jx yj является неполным метрическим пространством. Например, можно взять фундаментальную последовательность fxn = a + 1=ng, не имеющую предела в X.

Пример 1.4.5. Пространства последовательностей lp (1 p < 1) полны. Действительно, пусть fx(m) = (x(1m); : : : ; x(nm); : : : )g

– фундаментальная последовательность в lp. Это означает, что для всякого " > 0 существует N" 2 N такое, что

	1
(1.4.2)	jxj(k) xj(m)jp < "p
	Xj
	=1

для всех k > N" и m > N". Зафиксировав произвольное 1 j n, мы получаем

jx(jk) x(jm)j < "

для всех k > N" и m > N", т.е. fx(jm)gm2N – фундаментальная числовая последовательность. Так как пространство R полно,

то существует lim x(jm) = xj.

m!1

Докажем, что x = (x1; : : : ; xn; : : : ) принадлежит lp и

= x. Из неравенства (1.4.2) следует, что для любого

m!1

фиксированного n 2 N

n

X jx(jk) x(jm)jp < "p: j=1

В этой сумме теперь лишь конечное число слагаемых, и мы можем, зафиксировав n 2 N, перейти к пределу по m ! 1 и получить

n

X jx(jk) xjjp "p: j=1

32

Это неравенство верно при любом n 2 N. Переходя к пределу по n ! 1, получаем

	1
	Xj
(1.4.3)	jxj(k) xjjp "p:
	=1

Кроме того, используя неравенство треугольника для метрики в пространстве Rnp (здесь n – произвольное фиксированное), мы видим, что

0	jxjjp1	1=p	0	jxj(k)jp1	1=p	0	jxj(k)	xjjp1	1=p
					+				:
n	A		n	A		1		A
@X			@Xj			@X
j=1			=1			j=1

Снова переходя к пределу по n ! 1 и учитывая сходимости рядов

11

jxj(k)jp;	jxj(k)	xjjp;
Xj	X
=1	j=1

мы заключаем, что ряд P1 jxjjp сходится, т.е. x 2 lp.

j=1

Наконец, в силу произвольности ", из неравенства (1.4.3) следует, что

			0	11=p
klim (x; x(k)) = klim			1	jxj(k) xjjp	= 0;
!1		!1	@Xj	A
			=1
т.е. lim	x(k) = x.
k!1

Пример 1.4.6. Пространство C[a; b] полно. В самом деле, пусть fxn(t)g – фундаментальная последовательность в C[a; b]. Это означает, что для всякого " > 0 существует N" 2 N такое, что

(1.4.4)

jxk(t) xm(t)j < "

для всех k > N" и m > N" и всех a t b. Значит, последовательность xk(t) равномерно сходится на отрезке [a; b]. По

33

известной теореме из курса математического анализа ее предел x(t)

есть функция непрерывная на [a; b]. Переходя к пределу по k ! 1

получаем

jx(t) xm(t)j < "

для всех m > N" и всех a t b, а это и означает, что limm!1 xm = x в пространстве C[a; b].

Пример 1.4.7. Пространство Cp[a; b] (1 p < 1) не полно. Действительно, рассмотрим последовательность непрерыв-

ных функций в пространстве Cp[ 1; 1]
xn(t) =	8 nt		n1		< t < n1			;
	>	1	1	t n1 ;
		1	1		t		1:
	<		n
	>
	:

Она фундаментальна в Cp[ 1; 1], так как для m > n мы имеем

1
Z 1 jxn(t) xm(t)jp dt = 2 Z01=n jxn(t) xm(t)jp dt =
	= 2 Z0	1=m					1=n
			(m n)ptp dt + 2 Z1=m (1 nt)p dt =
	2(m n)p				2(1 n=m)p+1				2(m n)p
	(p + 1)mp+1			+		n(p + 1)		=	(p + 1)mpn
		2			2
						=				:
		(p + 1)n (p + 1) min (m; n)

Предположим, что последовательность fxn(t)g сходится к некоторой непрерывной функции x(t) в Cp[ 1; 1] и пусть

(

1; 1 t 0;

(t) =

1; 0 < t 1:

34

В силу неравенства треугольника в пространстве Rnp , примененного к интегральным суммам, мы легко получаем, что

1

1=p

Z 1 jx(t) (t)jp dt

1

1=p

1

1=p

Z 1 jx(t) xn(t)jp dt

+

Z 1 j (t) xn(t)jp dt

=

(x; xn) + 2 Z01=n(1 nt)p dt =

(x; xn) +

2

:

n(p + 1)

0

R

1

1=p

Если интеграл

11 jx(t) (t)jp dt

равен нулю, то

Z 1 jx(t) + 1jp dt = Z0

jx(t) 1jp dt = 0:

Как мы видели выше, см. пример 1.1.10, из непрерывности функций x(t) + 1, x(t) 1 на [ 1; 0] и [0; 1] соответственно следует, что x(t) = 1 для t > 0, x(t) = 1 для t < 0, что невозможно в силу непрерывности функции x(t). Поэтому (x; xn) не может стремиться к нулю при n ! 1.

Для доказательства неполноты пространства Cp[a; b] можно рассмотреть последовательность

x	(t) =	8	1		a t			a+2 b bna;
			n(2t (b+a))		a+b		b a < t < a+b + b a;
n		>			2	n			2 n
				2(b a)				a
		>			a+b		b
		<	1		2	+			t b:
		>					n
		>

:

35

Пример 1.4.8. Дискретное пространство из примера 1.1.12 полно, поскольку в нем фундаментальными являются только стационарные последовательности, т.е. такие, в которых, начиная с некоторого номера, повторяется все время одна и та же точка.

Пример 1.4.9. Пространствa M0 и M полны. Более подробно мы рассмотрим этот пример на практических занятиях.