91

supx2M f(x). Нам нужно доказать, что найдутся такие точки x1 и x2 из M, что m1 = f(x1), m2 = f(x2).

Из определения точной верхней грани следует, что существует такая последовательность fxng M, что limn!1 f(xn) = m2. Так как M компактно, то существует сходящаяся в M подпоследовательность fxnkg последовательности fxng. Пусть limn!1 xnk = x0 2 M. Тогда по непрерывности функционала мы имеем: limn!1 f(xnk) = f(x0). Из единственности предела мы заключаем, что f(x0) = m2.

Таким образом, мы доказали, что непрерывный функционал f

достигает на M своего наибольшего значения. Аналогично доказывается, что непрерывный функционал f достигает на M своего

наименьшего значения.

2.4.3Компактность и полная ограниченность

Напомним, что в курсе математического анализа ключевую роль при описании компактов играла лемма Гейне-Бореля. Похожая ситуация имеет место и в произвольном метрическом пространстве.

Определение 2.4.5. В метрическом пространстве X множество

M" называется "-сетью для множества M в X, если для всякого x 2 M существует y 2 M", такая, что (x; y) < " (иначе говоря,

y2S	"
M	B(y; ")).
M

Определение 2.4.6. В метрическом пространстве X множество M называется вполне ограниченным, если при любом " > 0

для него существует конечная "-сеть M" в X.

Теорема 2.4.3. В метрическом пространстве множество

92

является предкомпактным тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.

Доказательство. Пусть M – предкомпактно. Зафиксируем

" > 0 и докажем существование конечной "-сети M".

Пусть x1 2 M. Если (x; x1) < " для всех x 2 M, то M" = fx1g. В противном случае существует такой элемент x2 2 M, что (x1; x2) M". Если окажется, что (x; x1) < " или (x; x2) < " для всех x 2 M, то M" = fx1; x2g. Продолжая это построение, мы либо остановимся на некотором шаге (а значит, построим конечную "-сеть), либо процесс будет продолжаться бесконечно. В последнем случае мы получим такую последовательность fxng M , что (xn; xm) " для любых m 6= n. Такая последовательность не может содержать ни одной фундаментальной подпоследовательности, что противоречит предкомпактности множества M. Следовательно, описанный выше процесс не может быть бесконечным.

Обратно, пусть для каждого " > 0 существует конечная "-сеть

M" для M. Пусть f"ng – числовая последовательность, стремящаяся к нулю. Тогда для каждого "n > 0 существует конечная "n-сеть

M"n = fy1(n); : : : ; yk(n(n))g:

Зафиксируем какую-нибудь последовательность fx g1=1 M

и докажем, что она содержит фундаментальную подпоследователь-

k(1)

ность. Ясно, что M S B(yj(1); "1). Следовательно, существует

j=1

номер 1 j k(1) такой, что шар B(yj(1); "1) содержит бесконеч-

ное число элементов последовательности fx g. Обозначим через B1 этот шар B(yj(1); "1), а через X1 – содержащуюся в B1 часть по-

следовательности fx g1=1.

k(2)

Выберем x (1) 2 X1. Ясно, что X1 M S B(yj(2); "2).

j=1

93

Следовательно, среди шаров fB(yj(2); "2)gkj=1(2) существует такой шар B2, который содержит бесконечное множество X2 элементов последовательности X1. Выберем x (2) 2 X2, (n2 > n1). Продолжая это построение, мы получим последовательность шаров fBkg

радиусов f"kg и подпоследовательность fx (k)g последовательности fx g. При этом, по построению, x (k) Bk и даже x (m) Bk

при m k.

Покажем, что fx (k)g фундаментальна. В самом деле, если yk

– центр шара Bk, то

(xn(k); xn(k+p)) (yk; xn(k+p)) + (xn(k); yk) 2"k;

что и требовалось.

Следствие 2.4.1. В полном метрическом пространстве множество является компактным тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.

Доказательство. Немедленно следует из доказательства теоремы 2.4.3, и предложения 2.4.2. Любой шар в пространстве Rn2 является предкомпактным. В бес-

конечномерном пространстве это не так.

Предложение 2.4.4. В бесконечномерном нормированном пространстве всякий шар не является предкомпактным.

Доказательство. Пусть fxng – линейно независимые векторы в нормированном пространстве L. Тогда xn 62Xn 1 =

L(fxkgnk=11), а значит, существует такая постоянная an > 0, что

x	; X	inf x	n	x	k	> a		> 0:
( n		n 1) = x2Xn 1 k					n

94

Из определения точной нижней грани следует, что существует

вектор x 2 Xn 1, что 0 6= kxn x k < 2an. Положим y1 = kx1k,

yn = xn x (n > 1). Тогда yk 2 Xk, kykk = 1 и

x1

kxn x k

y

; X

inf

y

x

k =

(

k

k 1) = x2Xk 1 k

k

1

inf

x

n

x

k

x

x

x

k

=

1

inf

x

n

x

k

kxn x k x2Xk 1 k

n

k

kxn x k x2Xk 1 k

an

=

1

:

2an

2

Так как xm 2 Xk при m k, то kyk ymk 1=2 при

k 6= m. Поэтому последовательность fR yk ag B(a; R) не

содержит ни одной фундаментальной подпоследовательности, т.е.

шары B(a; R) и

(a; R) (0 < R < 1 , a 2 L) не являются

B

предкомпактными.

2.4.4Компактные множества в C[a; b]. Теорема Арцела

Дадим характеризацию компактных множеств в пространствах непрерывных функций.

Определение 2.4.7. Множество функций, определенных на отрезке [a; b] называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная C > 0, что

j (t)j C для всех t 2 [a; b] и всех 2 :

Определение 2.4.8. Множество функций, определенных на отрезке [a; b] называется равностепенно непрерывным, если для

95

всякого " > 0 существует такое > 0, что для всех t1; t2 2 [a; b], удовлетворяющих jt1 t2j < , мы имеем

j (t1) (t2)j " для всех 2 :

Теорема 2.4.4. Для того чтобы множество функций, непрерывных на отрезке [a; b] было предкомпактно в C[a; b], необходимо и достаточно, чтобы это множество было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

Доказательство. Необходимость. Пусть множество предкомпактно в C[a; b]. Тогда по теореме 2.4.3 для каждого положительного " существует конечная "=3-сеть f jgnj=1 C[a; b]. Поскольку каждая из функций j непрерывна, то она ограничена: j j(t)j Cj. Положим C = max1 j n Cj + "=3. По определению "=3-сети для всякого 2 существует хотя бы одна j, для которой

( j; ) = max j (t) j(t)j "=3:

t2[a;b]

Следовательно,

j (t)j j (t) j(t)j + j j(t)j "=3 + Cj C;

а значит, равномерно ограничена.

Далее, так как каждая из функций j, образующих "=3-сеть равномерно непрерывна на отрезке [a; b], то существует j > 0, такое, что

j j(t1) j(t2)j < "=3;

если jt1 t2j < j.

Положим = min1 j n j. Тогда

j (t1) (t2)j j (t1) j(t1)j + j j(t1) j(t2)j + j j(t2) (t2)j <

96

"=3 + "=3 + "=3 = ";

если jt1 t2j < . Равностепенная непрерывность доказана. Достаточность. Пусть – равномерно ограниченное и равносте-

пенно непрерывное множество функций из C[a; b]. Покажем, что оно вполне ограничено. Зафиксируем " > 0 и пусть > 0 и C > 0

выбраны так, что j ( 1) ( 2)j < "=5 при j 1 2j для всех1; 2 2 [a; b], для всех 2 и j ( )j C, для всех 2 .

Разобьем отрезок [a; b] на оси Ot точками a = t0 < t1 <

< tn = b на промежутки длиной меньше . Отрезок [ C; C]

на оси Oy разобьем точками C = y0 < y1 < < ym = C

на промежутки длины меньше чем "=5. Сопоставим теперь каждой функции 2 ломаную с вершинами в точках (tk; yj), которые уклоняются в точках tk от функции не более, чем на "=5. Тогда по построению

j (tk+1) (tk)j

j (tk+1) (tk+1)j + j (tk+1) (tk)j + j (tk) (tk)j 3"=5:

Так как между точками tk и tk+1 ломаная линейна, то (x) (tk) < 3"=5 для всех x 2 [tk; tk+1]

Пусть теперь t 2 [a; b] и tk – ближайшая слева из выбранных нами точек деления. Тогда

j (t) (t)j j (t) (tk)j + j (tk) (tk)j + j (tk) (t)j ":

Следовательно, ломаные (t) образуют по отношению к "-сеть. Поскольку число узлов (tk; yj) равно m n, то и число ломаных также конечно. Теорема доказана.