лабы по оптике

Обработка и анализ экспериментальных данных

Введение

Одна из задач физического практикума состоит в том, чтобы дать студенту возможность приобрести опыт работы с любыми приборами и научить его общим правилам проведения измерений, анализу результатов эксперимента, правильно делать выводы и оценивать точность окончательного результата.

Измерение какой-либо физической величины (длины, массы, заряда, скорости) заключается в процедуре сравнения интенсивности рассматриваемой величины и общей признанной меры или измерительного прибора.

Случайная величина. Такая величина связана со случайными процессами, и результат единичного измерения не может быть предсказан заранее. Примерами случайной величины могут служить время распада радиоактивного атома, результат бросания игральных костей и так далее. Теория вероятностей дает возможность определения наиболее вероятных значений случайной величины.

Постоянная величина. К таким величинам должны быть отнесены физические постоянные, например, скорость света в вакууме, электрическая постоянная, элементарный электрический заряд. Можно считать постоянными величинами также некоторые физические характеристики конкретного объекта, находящегося при фиксированных условиях, например, длины волн излучения атомов ртути в газовом разряде, величину пропускания светофильтра.

Многократные измерения постоянной величины могут дать неодинаковые результаты. Дело в том, что результаты измерений подвержены многочисленным неконтролируемым, а значит, и неучтенным влияниям: изменениям внешней среды (температуры, давления, влажности), неконтролируемым процессам в исследуемом объекте, случайным колебаниям в измерительном приборе, например, скачку напряжения. Вследствие этого постоянная величина ведет себя как случайная величина, а результаты её измерений отражают случайную природу воздействий и отвечают определенным статистическим закономерностям.

Переменная величина. Этот тип величины закономерно изменяется с течением времени вследствие процессов, проходящих в исследуемом объекте. Примером такого процесса может служить амплитуда затухающего гармонического колебания маятника.

Следовательно, никогда измерения не могут быть выполнены абсолютно точно. Всегда имеется некоторая неопределенность в значении измеряемой величины. Эта неопределенность характеризуется погрешностью – отклонением измеренного значения величины от ее

480

истинного значения. Основными причинами, приводящими к появлению погрешностей, являются следующие:

1)ограниченная точность измерительных приборов;

2)влияние на измерение неконтролируемых изменений внешних

условий;

3)субъективные действия экспериментатора, например, различное размещение глаз по отношению к шкале прибора;

4)неполное соответствие измеряемого объекта той абстракции, которая принята для измеряемой величины (излучение считается монохроматическим, даже если оно получено от лампы накаливания с помощью цветного стекла);

5)приближённость формул, которые используются для нахождения измеряемой величины (пренебрежения слагаемыми второго порядка малости при получении выражения для радиуса колец Ньютона).

В зависимости от причин, приводящих к возникновению погрешностей, различают их следующие виды:

промахи – грубые ошибки в значениях измеряемой величины, которые, как правило, возникают за счет невнимательности (вместо цифры 3 записали цифру 8) и из-за неисправности прибора;

систематические погрешности – такие погрешности, которые при многократных измерениях приводят к отклонениям измеряемой величины от

ееистинного значения всегда в одном направлении – либо в сторону завышения, либо в сторону занижения;

случайные погрешности – погрешности такого типа даже при очень строгом соблюдении одних и тех же условий в различных измерениях приводят непредсказуемо как к увеличению, так и к уменьшению измеряемой величины по отношению к истинному значению, причем величина отклонения может быть различной;

приборные погрешности – они могут быть как систематическими, так и случайными погрешности и связаны с точностью изготовления измерительного прибора.

В зависимости от способа получения значения измеряемой величины различают погрешности прямых и косвенных измерений.

Прямыми измерениями считаются такие, в результате которых сразу получается искомая величина, например, измерения электрического

напряжения с помощью вольтметра или измерения				угла	дифракции
гониометром.	косвенных	измерениях
При			интересующая	нас	величина

непосредственно не измеряется. Вместо этого мы измеряем некоторые другие величины А, В, С и так далее, а затем вычисляем величину Z, которая является известной функцией указанных первичных величин.

Существует две формы представления записи погрешностей. Абсолютная погрешность выражается в той же самой мере, что и измеряемая

481

величина. Например, если среднее значение фокусного расстояния линзы 250 мм измерено с погрешностью 5 мм, то величина 5 мм является абсолютной погрешностью данного измерения. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины.

В данном примере величина отношения 5: 250=0,02 будет относительной погрешностью. Ее можно выразить в процентах. Если при измерениях получена относительная погрешность более 10 %, то говорят, что произведено не измерение, а лишь оценка измеряемой величины.

Систематические погрешности

Систематические погрешности чаще всего возникают по следующим причинам:

1.В микрометрах, в спектральных щелях и так далее возможна ошибка нулевого отсчета, которую следует устранить, приводя в соприкосновение подвижной части приборов и отмечая соответствующие показания, которые следует считать нулевым. Точно так же всегда надо проверять положения нулевого отсчета в электроизмерительных приборах.

2.Возможно несоответствие приборов эталону. Например, пластиковые линейки с течением времени обычно укорачиваются на несколько миллиметров. Деревянные линейки чувствительны к влажности в помещении, секундомер может спешить или отставать на несколько секунд в сутки.

3.Неправильное использование прибора. Например, при измерении расстояния между оптическими элементами длинной металлической линейкой, линейку держат так, что она прогибается, при измерении температуры раствора термометром – погружают термометр в раствор не до нужного уровня.

4.Пренебрежение поправками, которые нужно ввести в результаты измерений, например при измерении интерференционных картин, получаемых с использованием светофильтров, не учитываются спектральные характеристики глаза.

Систематические погрешности – это наиболее труднораспознаваемые погрешности. Они могут быть сведены к минимуму путем проверки приборов и оборудования, их тщательной установкой, анализом методики измерений.

Некоторые систематические погрешности могут быть обнаружены только путем применения принципиально новых методов измерений.

Случайные ошибки можно вычислять методами математической статистики. Систематические же ошибки не поддаются подобному анализу.

482

Случайные погрешности

Допустим, что n последовательных измерений некоторой величины имеют значения

х1, х2, х3,…хn. (1)

Из–за наличия случайных ошибок отдельные значения х1, х2, х3,…хn неодинаковы, поэтому в качестве наилучшего значения искомой величины

выбирают среднее арифметическоех, определяемое так:
х	1	xi .	(2)
	n

Обозначим истинное значение через Χ . Поскольку истинная ошибка измерений нам не известна, то можно утверждать лишь следующее: имеется некоторая вероятность того, что Χ лежит в каких–то пределах вблизи х. При описании случайных погрешностей считаем, что выполняются следующие условия:

1)они могут принимать непрерывный ряд значений;

2)большие отклонения измеренных значений от истинного значения измеряемой величины встречаются реже (менее вероятны), чем малые;

3)отклонения в обе стороны от истинного значения равновероятны. Эти предположения справедливы не всегда. Опыт, однако, показывает,

что в подавляющем большинстве случаев они выполняются достаточно хорошо. В рамках сделанных предположений относительно случайных погрешностей теория вероятностей дает для нормированной на единицу функции распределения f(x) величины x выражение

		1		1	e	(x X)2
							.
	f (x)					2 σ2		(3)
		2						и σ носит название
	Эта функция задается двумя параметрами Χ

функции Гаусса, а соответствующее распределение называется гауссовым или нормальным распределением. Величина σ2 в (3) называется дисперсией и

	характеризует ширину распределения. На
	рис. 1 приведено несколько гауссовых
	распределений с разными σ при Х = 0.
	Функция Гаусса позволяет				оценить
	возможное	отклонение			среднего
	арифметического от		истинного		значения
	измеряемой	величины.		Для	этого
	необходимо	найти	способ	определения
Рис. 1. Гауссово распределение при σ =1,	дисперсии.
1/2, 1/4. Величины х и σ взяты в одних	Погрешности отдельных измерений
единицах. Площади под всеми кривыми
одинаковы	Ошибка в измерении x равна

483

e X x .

(4)

Корень квадратный из среднего квадрата разности e называется

среднеквадратичным (стандартным) отклонением или среднеквадратичной

(стандартной) ошибкой отдельного измерения. По определению среднего значения квадрата стандартной ошибки, для распределения f (x) имеем:

(стандартная ошибка) 2 e2 (X x)2 f (x)dx	(5)
Подставляя в (5) вместо f (x) функцию Гаусса, получим
e2 2 .	(6)

Таким образом, величина в распределении Гаусса есть среднеквадратичная (стандартная) погрешность отдельного измерения.

Можно показать, что среднеквадратичная ошибка среднего значения из n измерений (x) в n меньше среднеквадратичной ошибки отдельного измерения, то есть

(x)		.	(7)
	n

Рассмотрим распределение Гаусса, у которого X 0. Величина f (x)

(по определению) - это доля показаний,	приходящаяся на интервал от x	до
x dx , следовательно, функция
F(x) x	f ( y)dy	(8)
x

дает долю измерений, приходящуюся на интервал от x до x . На рис. 2 функция F(x) представлена графически.

	Расчеты показывают: если x лежит в
	интервале , ,			то	в	этот	интервал
	результат		измерений			попадает		с
	вероятностью 68%, и примерно каждое третье
	измерение дает результат за пределами этого
	интервала.		Вероятность,			что	результат
Рис. 2. Доля F(х) измеренных значений,	попадет в интервал 2 , 2 , равна 95%, а
отношению площадей заштрихованного	каждое двадцатое измерение дает результат
лежащих в пределах ± х, равна
участка и под всей кривой f(y)	за	пределами		этого		интервала.		С
	вероятностью		99,7%		истинное		значение
интервале 3 , 3 , и лишь	измеряемой		величины		будет лежать в
	одно	измерение		из 400		дает значение		за

пределами этого интервала. Таким образом, интервал 3 около x является почти достоверным, так как в нем сосредоточено подавляющее большинство отдельных результатов многократного измерения случайной величины.

На практике вычислить среднеквадратичное отклонение по формуле

(4) нельзя, так как истинное значение X нам неизвестно. Данное затруднение можно обойти, если оперировать с остатками.

484

Для i -го измерения остаток дается равенством
di xi x .	(9)

В отличие от ошибки остаток – известная величина. Обозначим среднеквадратичное значение n остатков через S :

S	1	(xi x)2 .	(10)
	n	i

Величина S - называется выборочным среднеквадратичным отклонением. В теории показывается, что S 2 является несколько заниженной несмещенной оценкой 2 . Связь этих величин дается формулой

	S	n			(xi x)2	.	(11)
		n 1			n 1

Из (11) и (7) для среднеквадратичной ошибки среднего получаем формулу, которая используется в практических расчетах:

	(x)	(xi	x)2	.	(12)
		n(n 1)

За оценку погрешности окончательного результата измерения необходимо принимать стандартную погрешность или кратную ей величину, можно взять произвольную величину x . Симметричный относительно x интервал x, x называется доверительным интервалом.

Вероятность найти значение измеряемой величины в указанном интервале носит название доверительной вероятности

P(x x x x x) .

(13)

Значение случайной погрешности однозначно определено только после задания двух численных значений: значения доверительного интервала, являющегося оценкой погрешности, и соответствующего значения доверительной вероятности. Просто “погрешность” не существует, так как без задания соответствующей ей доверительной вероятности неизвестно, насколько надежен полученный результат.

Сделаем главный вывод: увеличение надежности результата измерения есть следствие расширения доверительного интервала, хотя, на первый взгляд, происходит совсем обратное. Для измерений, к которым предъявляются высокие требования по надежности, следует использовать0,997 , которому соответствует x 3 (так называемое правило трех

стандартов).

В эксперименте значение (x) оценивают по (12), исходя из

результатов отдельных измерений, количество которых обычно не превышает 5 – 10. Поэтому точность оценивания (x) невелика, и это вносит

дополнительную неопределенность в окончательный результат многократного измерения. Чтобы ее учесть, следует расширить границы доверительного интервала. Меньшему количеству измерений должен сопоставляться более широкий доверительный интервал. Это расширение

485

выполняется с помощью коэффициентов Стьюдента t( , n) , которые зависят

от полного количества измерений n и заданного значения доверительной вероятности . Значения коэффициентов Стьюдента приведены в табл.1.

Таблица 1

Распределение Стьюдента

Коэффициенты Стьюдента t(α,n) для доверительной вероятности α (n- количество измерений)

	n			α
		0,68	0,95	0,99	0,99
					9
	2	2,0	12,7	63,7	636,
					6
	3	1,4	4,3	9,9	31,6
	4	1,3	3,2	5,8	12,9
	5	1,2	2,8	4,6	8,6
	6	1,2	2,6	4,0	6,9
	7	1,1	2,4	3,7	6,0
	8	1,1	2,4	3,5	5,4
	9	1,1	2,3	3,4	5,0
	10	1,1	2,3	3,3	4,8
	15	1,1	2,1	3,0	4,1
	20	1,1	2,1	2,9	3,9
	30	1,1	2,0	2,8	3,7
	50	1,1	2,0	2,7	3,5
	100	1,0	2,0	2,6	3,4

Выражение для доверительного интервала с учетом расширения

принимает вид
x t( , n) (x) .	(14)

Косвенные измерения

1. Функция одной переменной. Рассмотрим случай, когда нужная величина непосредственно не измеряется, а вычисляется по формуле, в которую входит одна измеряемая величина. Например, требуется определить угол дифракционной расходимости sin монохроматического излучения по

измерению диаметра d круглого отверстия. Функциональная связь этих величин имеет вид

486

		sin k ,
где k - постоянный коэффициент.					d
Запишем функцию одной переменной в общем виде:
			Z Z(A) .							(15)
Если истинное значение первичной величины есть A0 , то истинное значение
величины Z есть			Z0 Z(A0 ) .							(16)
Ошибка данного значения A равна
			EA A A0 ,							(17)
и ей соответствует ошибка в величине Z , равная
E	Z	Z (A E		A	) Z (A ) dZ		E	A	.	(18)
		0			0	dA

Производная dZdA взята в точке A A0 . Знак приближенного равенства в (18)

связан с предположением, что ошибка A достаточно мала и в интервале измеренных значений A функцию Z (A) можно считать линейной. Таким

образом, ошибка в величине Z пропорциональна ошибке в величине причем коэффициент пропорциональности равен

C		dZ
	A		.
		dA A A
			0

A,

(19)

Допустим, что величина A относительно A распределена по функции Гаусса и возьмем среднее квадратичное от обеих частей равенства (18):

Z 2 C	A	A2		или Z C (A) .	(20)
				A

Рассмотрим функциональную зависимость, встречающуюся довольно часто:

Z An

(21)

В этом случае

(

)

(

)

,

CA nAn 1 и

Z

n

A

(22)

Z

A

в n раз

то есть относительная среднеквадратичная ошибка в величине Z

больше относительной среднеквадратичной ошибки в величине A.

2. Функция нескольких переменных. Рассмотрим случай, когда Z - известная

функция двух независимых переменных А и В:

Z Z(A, B) .

(23)

Ошибки в величинах A и B таковы:

EA A A0 ,

EB

B B0 ,

(24)

где A0 и B0 – истинные значения величин A и B . Как и в предыдущем

случае, предполагается, что в пределах измеренных значений Z можно считать приближенно линейной функцией A и B . Тогда ошибка в величине Z равна

487

EZ			CA E(A) CB E(B),								(25)
где коэффициенты CA и CB даются выражением
C				Z	,	C			Z	.	(26)
	A						B
				A					B
Эти частные производные вычисляются						в		точках A A0 и			B B0 . Из
равенства (25) следует, что
EZ2 CA2 E 2 (A) CB2 E 2 2CACB E(A)E(B) .											(27)

Усредним обе части этого равенства по парам значений A и B из соответствующих им распределений. Поскольку A и B - независимые величины, среднее значение произведения E(A)E(B) равно нулю.

По определению,

2 (

) EZ2 ,

2 (

) E 2 (A) ,

2 (

) E 2 (B) .

(28)

Z

A

B

Следовательно,

) C 2 2 (

) C

2 (

2 2 (

)

(29)

Z

A

B

или

A

B

Z

2

2

Z

2

2

(Z )

(A)

(B) .

(30)

B

A

Общее правило такое: если

Z

- известная

функция

независимых

переменных A , B , C , то среднеквадратичная

ошибка в

величине

Z

выражается соотношением

Z

2

2

Z

2

2

(Z )

(B) ... .

(31)

(A)

A

B

Для ряда конкретных случаев удобные формулы расчета (

) ,

Z

полученные по уравнению (31), приведены в табл. 2.

Таблица 2

Операции над ошибками

Функцион

Соотношения

№

альная связь

между

фор

между Z и A, B

среднеквадратичными

мулы

ошибками

Z = A + B,

σ (z)2 = σ2 (A) + σ

1

Z = A - B

2(B)

Z = A/ B,

δ(z)2 = δ 2 (A) +δ

Z = A · B

2

488

	2(B)
Z = An	δ(z) = n δ(A)	3
Z = lnA	Σ (z) = δ(A)	4
Z = eA	δ(z) = n σ(A)	5

Как видим (табл. 2), иногда удобнее вычисление погрешностей начинать с определения абсолютных погрешностей, иногда – с относительных. Какой путь предпочтительнее зависит от вида определяемой функции.

Особый случай вычисления погрешностей. Ранее предполагалось, что при прямых измерениях каждая из величин А, В, С и так далее измеряется по нескольку раз в неизменных условиях. Однако возможны случаи, когда величины А, В, С имеют принципиально разные значения, сознательно изменяемые в процессе опыта (например, длина волны излучения в опытах по дифракции определяется при разных значениях ширины щели). В таких случаях значения искомой величины вычисляется для каждого из опытов по

отдельности: Z1 Z(A1 , B1 ,C1 ...) , Z2 Z(A2 , B2 ,C2 ,...), Zn Z(An , Bn ,Cn ...) .

В качестве наиболее вероятного значения берется среднее значение:

		Z1			Z2	... Zn .	(32)
	Z
Случайная погрешность (						n
				)сл	величины Z		вычисляется так же, как и
			Z

случайная погрешность при прямом измерении (формулы (11), (12)), в которых вместо x1 , x2 ,..., xn фигурируют Z1 , Z2 ,...Zn .

Взвешивание результатов

Рассмотрим случай, когда некоторая величина x измеряется в два приёма с перерывом между измерениями: сначала получаем семь значений –

х1, х2, …, х7, а затем ещё три – х8, х9, х10. По каждой из серий измерений можно найти средние значения х1 и х2 , которые определяем по формулам

х	1	(х	х		...х		) и х			1	(х		х		х ).	(33)
1	7	1		2		7		2		3		8		9	10

Наилучшим значением по десяти измерениям будет среднее арифметическое:

489