лабы по оптике

Дифракция Френеля на щели

Пусть плоская волна E0 e i(kz t) падает по нормали на щель ширины

D (рис. 3).

Рис. 3. Схема наблюдения прохождения плоской волны через щель в непрозрачном экране

Поле дифрагирующей на щели волны определяется интегралом КирхгофаФренеля

	exp(ikz) D / 2		ik			2
E(xp yp )			exp		(x xp )		dx .	(19)
	i z			2z
		D / 2

В (19) для простоты опущен множитель, зависящий только от времени e-i t. Выражение (19), записанное через интегралы Френеля, имеет вид

E(x

p

, y

p

) exp(ikz)

z C(v

2

) C(v ) i S(v

2

) S(v ) ,

(20)

i z

k

1

1

где пределы интегрирования v1 и v2 определяются соотношениями (10):

v

k

(D / 2 x

) и

v

k

(D / 2 x

) .

(21)

p

2

p

1

z

z

Как следует из графика (рис.2), величину C(v)+iS(v) задает радиус-вектор, исходящий из начала координат в точку с координатами C(v),S(v). Выражение (20) определяет разность двух радиус-векторов, содержащих две точки на спирали с координатами C(v1), S(v1) и C(v2), S(v2). Значения

параметра v, согласно формулам (21), зависят при фиксированных z, и D только от координаты точки наблюдения xp. Разность параметров v2-v1 при

	этом постоянна: v	k	D.
		z

Напряженность поля дифрагировавшей волны можно найти с помощью следующего простого механического аналогового устройства. Гибкая, не

340

растягивающаяся трубка длиной v одета на спираль Корню. Концы трубки соединены резинкой, длина которой и определяет напряженность поля дифрагировавшей волны. Трубка движется по спирали в зависимости от координаты xp точки наблюдения. Для точки, расположенной в середине изображения (xp=0), положение трубки симметрично относительно начала координат. По рис. 2 приближенно следует, что в этих условиях максимумы и минимумы напряженности соответствуют точкам пересечения спирали Корню и прямой F1 F2, соединяющей фокусы спирали. Прямая F1 F2

составляет с осями координат углы /4, что следует из значений координат точек фокусов. Так как прямая F1 F2 пересекает спираль приблизительно под прямым углом, то для максимумов угол наклона касательной к кривой относительно оси С равняется мах=3π/4+2 n, а для минимумов min=π/4+2 n, где n=0, 1,2, 3, и так далее.

Из (18) имеем

tg tg

v2

,

то

есть

v2

.

2

2

, но v1

и v 2

Для симметрично расположенной трубки, когда

v1

v2

находятся в первом

третьем квадрате, можно записать v2 -v1=2v. В этом

случае v

k

D

1

D , поэтому

условие

экстремумов

интенсивности в

z

2

2 z

центре дифракционной картины принимает вид:

(22)

D

z

3 8n максимум и D

z 7 8n минимум.

Величина

z

в равенстве

(22) определяет ширину первой

зоны

Френеля, световые волны приходят от краев зоны Френеля в точку

наблюдения с относительной разностью фаз .

Из равенства (22) следует, что расстояние от щели до плоскости наблюдения в зависимости от того, какая полоса (светлая или тёмная) находится в центре дифракционной картины, определяется выражениями

	z0 max			D2	;	z0 min	D2	.	(23)
			(3	8n)			(7 8n)

Здесь n=0, 1,2, 3, …, D – ширина щели. Для случая, когда щель освещается не плоской, а сферической волной (источник света находится на конечном расстоянии z1 от щели), формулы (23) можно представить в виде

D	z1 z0		3 8n и D	min		z1 z0		7 8n	(23)
max	z1 z0					z1 z0

Увеличивая ширину щели или уменьшая расстояние от нее до плоскости наблюдения (фокальной плоскости микроскопа) при выполнении лабораторной работы можно видеть, как увеличивается число минимумов и максимумов на изображении щели.

341

Экспериментальная установка

Оптическая схема экспериментальной установки представлена на рис. 4.

Рис. 4. Блок–схема установки для изучения дифракции Френеля

Источник сплошного спектра 1 освещает входную щель коллиматора 2. Параллельный пучок света после коллиматора падает на регулируемую оптическую щель 4. Для монохроматизации излучения используется светофильтр 3. Дифракционная картина в плоскости Р наблюдается с помощью микроскопа 5. Все оптические элементы установлены в рейтерах, которые могут перемещаться как вдоль, так и поперёк оптической оси.

Вдоль направлений перемещения трубки установлены миллиметровые линейки с нониусными шкалами.

Порядок выполнения работы

Включить источник света 1 и собрать по блок-схеме все элементы установки вдоль оптической оси. Установить трубу микроскопа на нулевое деление по нониусу осевого перемещения. Двигая рейтер с микроскопом по рельсу, добиться резкого изображения щели 4 и закрепить рейтер. В таком положении плоскость щели совпадает с фокальной плоскостью микроскопа

5.

С помощью винта сместить трубку микроскопа немного назад так, чтобы в поле зрения стали видны тёмные дифракционные полосы. Вращением щели вокруг горизонтальной оси получить чёткую дифракционную картину. Отсчёт по линейке перемещений является расстоянием между щелью и плоскостью наблюдений.

Задания

1.Микровинтом раздвинуть щель до 0,100 −0,500 мм.

2.Установить линейку перемещений микроскопа на нулевое значение

иполучить в микроскопе чёткое изображение щели.

3.Винтом отодвинуть микроскоп на такое расстояние, чтобы в поле зрения было видно 5 тёмных полос. Определить по линейке перемещений величину отрезка от щели до плоскости наблюдения.

4.Произвести такие же измерения для дифракционной картины из 4, 3, 2 и 1 тёмных полос.

342

5.Измерения производить с интерференционным светофильтром по выбору преподавателя.

6.Рассчитать для каждого случая длину волны света, пропускаемого светофильтром.

7.Рассчитать среднее значение длины волны света и оценить точность измерений.

8.Увеличить ширину щели и исследовать дифракцию Френеля на краю полуплоскости. Зарисовать распределение интенсивности света вблизи границы тени. Объяснить полученную картину, используя спираль Корню.

Контрольные вопросы

1.В чём заключается принцип Гюйгенса?

2.Каковы дополнения Френеля к принципу Гюйгенса?

3.В чём заключается принцип построения зон Френеля?

4.Что такое дифракционная длина излучения?

5.Каково распределение интенсивности излучения вдоль оси в ближней зоне дифракции? В дальней зоне дифракции?

6.Чему равно число зон Френеля для дифракции Фраунгофера?

7.Напишите выражение для дифракционного предела фокусировки линзой излучения.

8.Напишите выражение для длины области перетяжки.

9.Напишите выражения для интегралов Френеля.

10.Как строится спираль Корню?

11.Чему равен угол наклона к спирали Корню для случаев:

в центре дифракционной картины светлая полоса;

в центре дифракционной картины тёмная полоса.

Список литературы

1.Дифракция света: Метод. указания / Краснояр.гос. ун-т.- Красноярск, 2001.

2.Сивухин Л.В. Оптика / Л.В.Сивухин.- М.:1Наука, 1980.

3.Ахманов С.А. Физическая оптика / С.А.Ахманов, С.Ю.Никитин;

Моск.гос.ун-т.-М., 1998.

4.Борн М. Основы оптики / М.Борн, Э.Вольф.- М.: Наука, 1970.

5.Мешков И.Н. Электромагнитное поле.Ч.2 / И.Н.Мешков, Б.В.Чириков. - Новосибирск: Наука, 1987.

343

Лабораторная работа 2.4 Определение разрешающей способности линзовых компонент и объективов

Цель работы:

изучение явления дифракции Фраунгофера на круглом отверстии;

определение разрешающей способности линзовых компонент и объективов;

оценка качества изображения, получаемого с помощью линз. Оборудование: оптическая скамья; коллиматор; микроскоп; набор мир

идиафрагм; осветитель; исследуемый объектив.

Введение

Одна из задач оптики – это построение изображения предмета оптической системой. Существует теория идеальной оптической системы (Гаусс, Максвелл), по которой все лучи, выходящие из одной точки предмета, обязательно собираются в одну точку изображения. Такое отображение называется стигматическим. Из этой теории следует, что идеальное изображение возможно лишь при рассмотрении параксиальных лучей, то есть лучей, идущих вблизи оптической оси системы. Таким образом, идеальная оптическая система возможна лишь в области, имеющей небольшие апертурные углы и небольшое поле зрения.

Оптическая система, пригодная для практического использования, должна давать изображение большого участка пространства и иметь большое поле зрения. Такая система будет давать совершенное изображение только при выполнении целого ряда условий (прил.). В реальных оптических системах эти условия не могут быть строго выполнены, поэтому точечный предмет изображается в виде некоторого пятна, называемого

пятном рассеяния, прямая линия изображается в виде кривой, изображение плоскости оказывается неплоским и так далее.

Разность координат (угловых или линейных) точек изображения, даваемых реальной и идеальной оптическими системами, называется погрешностями (ошибками) или аберрациями оптических систем. Значение аберрации могут быть получены сравнением координат изображения, вычисленных по точным тригонометрическим формулам и по формулам параксиальной (идеальной) оптики.

Аберрации оптических систем разделяются на монохроматические и хроматические.

Монохроматические аберрации для лучей строго определенной длины волны характеризуют отступление реальных систем от идеальных. К монохроматическим аберрациям относятся: сферическая аберрация, кома, астигматизм, кривизна поля изображения и дисторсия.

344

Сферическая аберрация. Этот вид погрешности связан со сферичностью преломляющих поверхностей (рис. 1). Из теории следует (прил.), что преломляющая поверхность для каждого расстояния от предмета до линзы должна иметь свою, отличающуюся от сферы, форму. На практике же линзы изготавливают обычно со сферической поверхностью.

Рис.1. Проявление сферической аберрации

Различие в форме между сферической поверхностью и идеальной резче проявляется при больших диаметрах линзы, поэтому проходящие через центральную область линзы лучи будут сходиться в одной точке, а лучи, прошедшие через линзу на большем расстоянии от центра, будут сходиться в другой точке (рис. 1). Количественной мерой сферической аберрации является отрезок δ = OS΄΄- OS΄. В результате действия этой погрешности изображение предмета будет нерезким, как бы окруженное ореолом. Применяя диафрагмы (ограничиваясь параксиальными лучами), можно сферическую аберрацию уменьшить, однако при этом уменьшается светосила линзы. Сферическую аберрацию можно устранить, составляя систему из собирающих (δ<0) и рассеивающих линз (δ>0).

Кома. Если через оптическую систему проходит широкий пучок от светящейся точки, расположенной не на оптической оси, то получаемое изображение этой точки будет в виде освещенного пятнышка, напоминающего хвост кометы. Такая погрешность называется поэтому комой. Устранение комы производится теми же приемами, что и сферической аберрации.

Дисторсия. Погрешность, при которой при больших углах падения лучей на линзу линейное увеличение для точек предмета, находящихся на разных расстояниях от главной оптической оси, несколько различается, называется дисторсией. В результате нарушается геометрическое подобие между предметом и его изображением (прямоугольник изображается в виде бочки или подушки). Дисторсия особенно опасна в тех случаях, когда оптические системы применяются для съемок, например, при аэрофотосъемке, при микроскопии и т.д.

345

Астигматизм. Погрешность, обусловленная неодинаковостью кривизны оптической поверхности в разных плоскостях сечения падающего на нее светового пучка, называется астигматизмом. Так, изображение точки, удаленной от главной оптической оси, наблюдается на экране в виде расплывчатого пятна эллиптической формы. Это пятно в зависимости от расстояния от экрана до оптического центра линзы вырождается либо в вертикальную, либо в горизонтальную прямую. Астигматизм исправляется подбором радиусов кривизны преломляющих поверхностей и их фокусных расстояний.

Хроматическая аберрация. При прохождении пучков лучей света через границы раздела прозрачных сред пучок лучей естественного света при преломлении вследствие дисперсии разлагается в спектр. В результате изображение представляет cобой сумму большого числа монохроматических изображений, не совпадающих между собой как по положению, так и по величине: изображение становится размытым и по краям окрашенным. Это явление носит название хроматизма или хроматической аберрации.

Процесс устранения как монохроматических, так и хроматических аберраций называется корригированием оптической системы. Так как разные сорта стекол обладают различной дисперсией, то, комбинируя собирающие и рассеивающие линзы из различных стекол, можно совместить фокусы двух (ахроматы) и трех (апохроматы) различных цветов, устранив тем самым хроматическую аберрацию. Системы с исправленными сферической и хроматической аберрациями называются апланатами.

Усложняя оптическую систему, можно добиться того, что система будет давать изображение достаточно высокого качества.

Однако получить идеальное изображение никакими конструктивными решениями в принципе невозможно. Это ограничение связано с тем, что свет обладает волновыми свойствами, которые не учитываются теорией идеальной оптической системы. Волновая природа света в таком проявлении называется дифракцией.

Краткая теория Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии [2]

Рассмотрим плоскую некогерентную световую волну, падающую на круглое отверстие. Если за отверстием поместить объектив, то идущие под разными углами параллельные пучки дифрагировавших лучей будут собираться в соответствующие точки фокальной плоскости объектива (рис. 2).

346

Рис. 2.Дифракция на круглом отверстии:

а – схема наблюдения дифракции Фраунгофера; б – дифракционная картина; в – график относительного распределения интенсивности света в дифракционной картине

В фокальной плоскости объектива (рис. 2б) наблюдается центральный светлый диск, окруженный светлыми и темными дифракционными кольцами. Точное распределение интенсивности в дифракционной картине можно получить с помощью дифракционного интеграла Фраунгофера [4]. График сечения этого распределения представлен на рис. 2в. Первый минимум освещенности (радиус первого темного кольца) наблюдается при угле дифракции, определяемом по формуле

sin 1,22 / D,

(1)

где D - диаметр отверстия.

Распределение освещенности в дифракционном пятне рассеяния впервые было получено Дж. Эри, поэтому центральный кружок дифракционного пятна называется кружком Эри. Световая энергия в дифракционном изображении точки распределяется следующим образом (в %): центральное пятно – 83,8; первое светлое кольцо – 7,2; второе светлое кольцо – 2,8 ; третье светлое кольцо – 1,5; остальные кольца – 4, 4,8.

При визуальном наблюдении обычно видно только 3-4 первых кольца.

Оценка качества изображения оптической системы

Качество изображения оптической системы зависит как от несовершенства системы (наличие остаточных аберраций, дефектов стекла), сборки и центровки, так и от дифракции света.

Важной количественной характеристикой качества изображения служит разрешающая способность оптической системы, дающая возможность изображать раздельно две точки или две линии предметов, расположенных в пространстве. Мерой разрешающей способности служит наименьшее линейное или угловое расстояние между двумя точками, изображения которых раздельно строятся оптической системой.

347

Оптическую систему принято считать совершенной, если разрешающая способность ограничена только дифракцией света на краях оправы или апертурной диафрагмы.

Радиус первого темного кольца в плоскости изображения

	определяется выражением	f
	1,22		,	(2)
		D
	где f ‘ – фокусное расстояние испытуемой линзы или системы.

По критерию Релея две точки в пространстве предметов считаются разрешимыми, если расстояние между изображениями этих точек не меньше, чем радиус первого темного кольца (рис.3). При выполнении критерия Релея отношение освещенности в точке минимума а к освещенности в точке максимума А или В составляет 75%.

Угловая величина радиуса первого темного кольца

	пред				,		(3)
при λ = 0,56 мкм (белый свет)				f
		140					(4)
	пред		D			,

где D выражено в миллиметрах, а в угловых секундах.

Существуют и другие критерии разрешимости. Так, по критерию, принятому в

астрономии для = 0,56 мкм
			120		(5)
	пред		D	.

Вэтом случае отношение освещенности

вточке а к освещенности в точке А (рис. 3) составляет 85%.

Абсолютный критерий разрешимости, когда освещенности в точках а и А равны,

Рис.3. Предельное положение	имеет вид		108
изображений двух светящихся					(6)
точек, построенных идеальной		пред	D	.

оптической системой

При визуальных наблюдениях, как правило, пользуются критерием Релея (4).

Разрешающая способность: для объективов телескопических систем выражается величиной

348

R 1 ,

пред

где пред - в радианах; для фотообъективов - в штрихах на один миллиметр:

	R		1		D	;	(7)
		l			1,22 f

для микроскопов – формулой (2), в линейной мере.

Разрешающая способность определяется с помощью штриховых мир [1, 4–6], представляющих собой стеклянные пластинки с нанесенными светлыми штрихами (рис. 4) на темном поле. Выпускают стандартные штриховые миры шести номеров. Каждая мира состоит из 25 элементов, оцифрованных по краям и имеющих по четыре группы штрихов с шириной штриха, меняющейся от одного элемента к другому. Под шириной штриха понимают суммарную ширину темной и светлой полос.

Рис. 4. Штриховая мира

Группы штрихов в каждом элементе расположены по четырём направлениям: вертикальному, горизонтальному и под углом 450 в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Ширина штриха от номера к номеру миры закономерно меняется, коэффициент перехода от одной группы к другой равен 0,94. Существует две методики работы со штриховыми мирами. По одной из них миру устанавливают не ближе чем на 30-кратном фокусном расстоянии от исследуемого объектива и с помощью микроскопа измеряют величину штриха последнего разрешаемого элемента миры. Зная цену деления микроскопа, несложно расcчитать и линейную

349