лабы по оптике

Тогда

' = b sin( ) k , t sin

и аргумент функции (u) принимает значения

u = k b sin( ) . t sin

(12)

(13)

Функция (u) зависит от длины волны через угол , принимая свое

наибольшее значение, равное единице при u = 0 . Это значит, что в спектре любого порядка главный максимум имеет наибольшую интенсивность, если= . При = 0 вид функции (u) показан на рис. 4.

Максимум функции соответствует зеркальному отражению падающего излучения в нулевом порядке. Кроме основного максимума функция (u)

имеет очень слабые максимумы при u = (k 1/2) ,	k 0 , а между ними,
при u = k , k 0 , находятся минимумы.

При 0 зеркально отраженный пучок совпадет с K -м порядком спектра. Длину волны k 0 , для которой это условие будет выполняться,

можно найти, подставляя в формулу (11) = :

		2sin cos
k 0	= t		2	.	(14)
		k

Рис.4. График функции (u)

Область длин волн вблизи k 0 называют областью высокой

концентрации энергии в данном порядке спектра, а угол - углом блеска решетки.

330

Рис.5. Распределение энергии для решетки с блеском в третьем порядке

На рис. 5 приведено распределение энергии излучения по порядкам дифракции для решетки с углом блеска в третьем порядке.

Если под углом блеска наблюдаются спектры 5-10 порядков, то такую решетку называют эшелеттом. Решетки, в которых наклон штрихов и расстояния между ними таковы, что наибольшая яркость приходится на спектры более высоких порядков - вплоть до сотого, называются эшелле.

2. Основные спектральные характеристики дифракционной решетки

Дифракционные решетки характеризуются параметрами: постоянной t решетки, числом N штрихов в решетке, угловой дисперсией D ,

разрешающей способностью Rk .

2.1. Угловая дисперсия определяется как отношение угла между углами дифракции в одном порядке для двух монохроматических линий

излучения 1	и 2	к разности длин волн = 1				2 :
		D	=		.	(15)

Запишем условие максимума функции ( ) , для этого положим в (7) разность хода равной целому числу длин волн:

	sin sin ' =		k	.		(16)
			t
	Дифференцируя (16) по длине волн, получим
	D = d =	k			.	(17)
		t cos '
	d

Таким образом, в спектрах разных порядков решетка дает различную угловую дисперсию, тем большую, чем выше порядок спектра и чем меньше

331

период решетки. При малых углах ' дисперсия D k/t = const и

расстояния между монохроматическими линиями в спектре данного порядка практически пропорциональны разности длин волн этих линий, что удобно для измерения длин волн отдельных линий по их положению в спектре.

2.2. Разрешающая способность определяется по критерию Рэлея,

согласно которому две линии 1 и 2 воспринимаются глазом раздельно,

если дифракционный максимум одной длины волны совпадает с минимумом другой (рис. 6).

Рис.6. Критерий разрешения по Рэлею
Разрешающая способность решетки определяется соотношением
R = / ,	(18)

где = 2 1 . Значение можно найти по уравнению дисперсии (17)= /D , где определяется по уравнению (9). С учетом этого для

разрешающей способности получим выражение

R = kN. (19)

Для серийных приборов решетки в первом порядке дифракции имеют разрешающую способность R=50000-80000.

3. Область свободной дисперсии

Уравнение (16) (его называют основной формулой решетки) показывает, что одни и те же углы дифракции будут наблюдаться для всей совокупности длин волн, удовлетворяющих соотношению

t(sin sin ' ) = i ki .

(20)

Таким образом, если для наибольшей наблюдаемой длины волны спектр первого порядка расположен под углом ' к нормали, то под этим же

углом будет наблюдаться излучение с длиной волны /2 в спектре второго порядка, /3 - в спектре третьего порядка и т.д.

Найдем область, свободную от наложений, то есть расстояние в длинах волн между двумя спектрами соседних порядков, дифрагированных под одним и тем же углом. Из уравнения (20) следует k = (k 1)( ) , откуда

332

= k 1 .

4.Экспериментальная установка

Внастоящей работе используется гониометр типа Г5, позволяющий с высокой точностью измерять углы дифракции и углы падения излучения на решетку.

Источник света (1), в качестве которого используется либо высокочастотная ртутная лампа, дающая резкий линейчатый спектр ртути, либо спектральная лампа с полым катодом, излучающая спектр неона, освещает входную щель (2) коллиматора (3), закрепленного на станине (4). Параллельный пучок света, выходящий из коллиматора, освещает дифракционную решетку (5), установленную на предметном столике (6) гониометра. Дифрагированное излучение наблюдается с помощью зрительной трубы (7), свободно вращающейся вокруг вертикальной оси гониометра. Угловое положение зрительной трубы определяют по отсчетной

инониусной шкалам гониометра.

Схема экспериментальной установки приведена на рис. 7.

Рис.7. Схема экспериментальной установки

5.Проведение эксперимента

5.1.Перед проведением работ ознакомиться с инструкциями по эксплуатации гониометра и источников света. Порядок настройки и работы с гониометром подробно рассматривается в методических указаниях 3.1 к лабораторной работе "Изучение характеристик дисперсионной призмы", п.п. 4.1, 4.2 и 4.3.

333

5.2.Включить ртутную лампу. Установить ширину входной щели коллиматора равную 0,03 мм. Зафиксировать предметный столик. Установить зрительную трубу так, чтобы совместились вертикальная ось креста зрительной трубы с изображением щели, закрепить зрительную трубу

изаписать значение угла 1 по отсчётному микроскопу.

5.3.Установить на предметный столик дифракционную решётку так, чтобы угол между плоскостью решётки и осью коллиматора составлял

примерно 300 . Разворачивая зрительную трубу, получить зеркальное (неразложенное в спектр) изображение входной щели коллиматора. Записать значение угла 2 , соответствующее этому положению зрительной трубы.

5.4. Медленно вращая зрительную трубу против часовой стрелки, измерить углы на все отчётливо видимые линии спектра ртутной лампы.

Измерения проводить до тех пор, пока возможно вращение алидады. Данные измерений углов с указанием цвета и интенсивности линий записать в таблицу.

6.Обработка результатов

6.1.Вычислить угол падения света на решётку по формуле

= [ ( 1 2 )]/2 (рис. 7) .

6.2.Вычислить угол , который образует нормаль N к поверхности

дифракционной решётки с началом шкалы отсчёта углов = 2 .

6.3. Вычислить углы дифракции ' , считая от положения нормали N,

для всех наблюдаемых спектральных линий.

6.4. Используя соотношение (16) для наиболее яркой зелёной линии спектра ртути зел = 546,074 нм и значения углов дифракции этой линии в

двух соседних порядках дифракции ( k и k 1), определить порядок дифракции k , в котором проводятся наблюдения. Учитывая очерёдность появления линий, записать порядки дифракций для всех наблюдаемых линий

втаблицу измерений.

6.5.На основании формулы (16) и длины волны зелёной линии зел

определить постоянную t дифракционной решётки.

6.6.Рассчитать значения длин волн для всех наблюдаемых линий.

6.7.Найти средние значения длин волн спектральных линий ртути, учитывая, что каждая линия наблюдалась несколько раз в различных порядках спектра.

6.8.Рассчитать угловую дисперсию решётки в синей, зелёной и красной областях спектра для первого и второго порядка дифракции.

6.9.Определить разрешающую способность решётки и минимально разрешимый интервал длин волн в зелёной области спектра.

334

Контрольные вопросы

1.В чем заключается явление дифракции света?

2.Как формулируется принцип Гюйгенса-Френеля?

3.Каков минимальный период решетки для работы с излучением, имеющим длину волны ?

4.Влияет ли ширина щели коллиматора на разрешающую способность решетки?

Список литературы

1.Годжаев Н.М. Оптика / Н.М.Годжаев.- М.:Высш.шк., 1977.

2.Зайдель А.Н. Техника и практика спектроскопии / А.Н.Зайдель, Г.В.Островская, Ю.И.Островский. - М.:Наука, 1972.

3.Лебедева В.В. Техника оптической спектроскопии / В.В.Лебедева. -

М.: МГУ, 1986.

4.Малышев В.И. Введение в экспериментальную спектроскопию / В.И.Малышев. - М.: Наука, 1979.

335

Лабораторная работа 2.3 Изучение дифракции Френеля

Цель работы:

изучение дифракции слаборасходящихся световых пучков;

обсуждение физического содержания френелевского приближения в теории дифракции;

расчёт картины френелевской дифракции на полуплоскости и на щели с помощью спирали Корню;

экспериментальное определение длины волны излучения по измерениям дифракционных картин.

Оборудование: источник сплошного спектра, спектральная щель, коллиматор, микроскоп, светофильтры.

Теоретическое введение

Общие вопросы дифракции рассмотрены во введении к лабораторным работам по теме “Дифракция света” [1].

Рассмотрим дифракцию плоской монохроматической световой волны на отверстии. Общее решение задачи дифракции в этом случае дается интегралом Гюйгенса-Френеля [2,3]:

E( p)	i	E(M ) e ik		d ,	(1)
	S

где Е - комплексная амплитуда светового поля; S – поверхность, стягивающая отверстие; P – точка наблюдения; M – некоторая точка на

поверхности S; – расстояние между точками P и M; - длина световой волны; k=2 / - волновое число. В выражении (1) и в дальнейшем для

простоты опускается зависящий только от времени множитель e-i t.

Введем координаты x и y в плоскости экрана с отверстием и координаты xp и yp в плоскости наблюдения, находящейся на расстоянии z от экрана с отверстием и параллельной ему (рис. 1).

Рис.1. Постановка задачи дифракции

336

В таких координатах дифракционный интеграл (1) имеет вид

E(xp , yy , z)

i

E(x, y) e

ik

dxdy ,

(2)

где

z2

(xp x)2

( yp

y)2 .

(3)

Для узкого слаборасходящегося пучка света будет выполняться

неравенство z >> xp,yp,x,y .

(4)

Перепишем неравенство (4) в виде

xp x

/ z 1,

yp y

/ z 1.

(5)

Выражение (3) можно разложить в ряд по малым параметрам (5) и

ограничиться членами второго порядка:

1

(x

x)2

(y

y)2

(x

x)2 (y

y)

p

p

2

p

p

z 1

z

.

(6)

2

2

z

z

2z

Выражение (6) называется параксиальным приближением, так как из

(5) следует, что точка наблюдения Р расположена достаточно близко от оси. Подставим (6) в (2) и, пренебрегая отличием от z в знаменателе подинтегрального выражения, получим

E(xp , yy , z)

i

ikz

ik

2

2

(7)

e

E(x, y) exp

(x p x)

( y p y)

dxdy.

z

2z

Формула (7) дает решение задачи в приближении Френеля. Основная формула френелевского приближения (6) с физической точки зрения означает замену сферических волновых фронтов вторичных волн Гюйгенса параболическими поверхностями.

Интегралы Френеля, спираль Корню

На практике расчеты по формуле (7) сводятся к вычислению интегралов

C( ) cos( t 2 / 2)dt,	S( ) sin( t 2 / 2)dt ,	(8)
0	0

называемых интегралами Френеля, которые не берутся в элементарных функциях, но для них составлены таблицы и графики.

Если в плоскости дифракционного экрана поле Е (x, y) постоянно, то выражение (7) будет состоять из интегралов вида

337

x2		ik					2
A	exp		(xp	x)				dx.	(9)
		2z
x1
Сделаем в формуле (9) замену переменной				z v,
	(xp x)								(10)
откуда					2
	dx		z dv .						(11)
Эта замена преобразует (9) в			2
	z v 2
A						v	2		(12)
	2 v1	exp i			2

или

v

A

z

2

cos(

v

2

)dv i

sin(

v

2

(13)

)dv .

2

2

2

Введем обозначения:

v1

v

v

С (v)

v

2

)dv,

S (v)

v

2

)dv.

(14)

cos(

sin(

2

2

0

0

С учетом (14) выражение (13) примет вид

A

z C v

C v

2

i

z S v

S v

2

.

(15)

2

1

2

1

Таким образом, решение задачи

дифракции

Френеля

(7)

свелось к

вычислению интегралов Френеля (14).

Поведение

интегралов

Френеля

хорошо

иллюстрируется

геометрическим построением

-

спиралью

Корню (рис.

2).

В качестве

декартовых координат точки Р берутся C(v)

и S(v). Переменная v принимает

все возможные значения, и поэтому точка Р описывает некую кривую. Поскольку C(0) = S(0)=0, то кривая проходит через начало координат, и поскольку

C(-v)=−C(v), S(-v)= −S(v),

(16)

то она антисимметрична относительно обеих осей.

338

Рис.2. Спираль Корню

Если dl элемент дуги нашей кривой, то

			2	dS		2		2												2
dl 2 dC2 dS2	dC						dv				cos2		v2		sin 2		v2				,
																				dv
		dv		dv								2				2
то есть dl2=(dv)2.																					(17)

Очевидно, если l измеряется в направлении увеличения v, то параметр v представляет длину дуги кривой, измеряемую от начала координат.

Пусть - угол между касательной к кривой и осью С, тогда

			dS				v2
	dS				sin	2
			dv										2					2	.	(18)
tg										tg		v		,	то есть		v
	dC		dC								2					2
							v	2
			dv		cos	2

Следовательно, монотонно возрастает с увеличением v . Так как =0,

когда v=0, то в начале координат касательная к кривой совпадает с осью С. Когда v2=1, то = /2 и касательная перпендикулярна оси С. Если v2=2, то = и касательная к кривой снова параллельна оси С, но ориентирована в отрицательном направлении. Отсюда ясно, что кривая есть двойная спираль с последовательно уменьшающимися в обе стороны витками, расположенными в первом и третьем квадрантах. В [4] показано, что S( )=-S(- )=1/2 и C( )=- C(- )=1/2, и обе ветви приближаются к точкам F+ и F- с координатами (½, ½) и (-½, -½). Точки F1 и F2 называются фокусами спирали. Геометрическое рассуждение, основанное на соотношении (18), позволяет качественно представить вид спирали Корню (рис. 2). Количественное ее построение выполняется на основании таблиц интегралов Френеля.

339