лабы по оптике

вкасательное положение к кольцу b, m–2 и вновь записывают показания.

Далее записывают положения наружного и внутреннего края кольца сн,m-2 и сb,m-2.Таким образом, снимаются координаты левых концов диаметров колец. После того как штрих микрометра пересечет центр картины и займет касательное положение к кольцу e, m, но уже справа, результаты записывают

втретий столбец (B) таблицы. Измерив, положение правых концов диаметров колец, вычисляют значения D диаметров и записывают результаты в четвертый столбик таблицы.

Все величины диаметров колец позволяют найти значения r, dr и r, необходимые для расчетов величин dλ и h. Фокусное расстояние объектива зрительной трубы равно 110 мм.

Таблица

Кольцо	А	В	D	dλ	d ( нм)			( см-1)
				(нм)
a, m-2
b, m-2
сн, m-2
сb, m-2
d, m-2
e, m-2
…
a, m
…
е, m

Задания

1. Рассчитать для всех компонент тонкой структуры смещение dλ (нм) относительно центра основной компоненты. Результаты занести в таблицу.

300

2.Найти средние по трем порядкам интерференции значения смещений. Результаты представить в единицах длины (нм) и обратных сантиметрах и поместить в таблицу. Сравнить результаты с рис. 8.

3.Рассчитать ширину центральной яркой компоненты λс.

4.Вычислить толщину интерферометра h по значениям r, определяемым из разностей диаметров основной компоненты для разных пар

смещенных порядков интерференции: Dc,m-2 - Dc,m-1 и Dc,m-1 – Dc,m.

	5. Определить линейную	dr	и угловую	d	дисперсии.
		d		d

6.Вычислить максимальный порядок интерференции m.

7.Исходя из значения числа m, определить полуширину линии излучения. Сравнить полученный результат со значениями смещений компонент λа и λе и с шириной центральной компоненты λс.

8.Рассчитать область свободной дисперсии интерферометра.

9.Определить разрешающую способность интерферометра, приняв коэффициент отражения зеркал равным 80%.

10.Пользуясь полученными результатами, определить длину

когерентности всей линии λ=546,073 нм и ее центральной части λс. Сравнить расчеты с длиной когерентности излучения тепловых источников.

11.Оценить погрешность измерений.

Контрольные вопросы

1.Что такое интерференция света?

2.Напишите, чему равна разность фаз между двумя когерентными лучами, если разность хода между ними равна d.

3.Как связана интенсивность света с амплитудой плоской монохроматической волны?

4.Выведите условие максимума интерференции для воздушного интерферометра Фабри – Перо.

5.Пользуясь условием максимума, выведите формулы для основных спектральных характеристик интерферометра.

6.Чему равно число интерференционных пучков?

7.Что такое эффективное число пучков?

8.Что принимают за полуширину линии излучения?

9.Что описывает функция Эри?

10.Какую функцию называют инструментальным контуром интерферометра, аппаратной функцией?

11.Определите критерий резкости интерференционных полос.

12.Как определяется контрастность интерференционных полос?

301

Список литературы

1.Сухов Л.Т. Интерференция и когерентность: Методич. указания к лабораторным работам / Л.Т.Сухов;. Краснояр. гос. ун-т.- Красноярск, 1997.

2.Борн М. Основы оптики / М.Борн, Э.Вольф. - М.: Наука, 1970.

3.Малышев В.И. Введение в экспериментальную спектроскопию / В.И.Малышев. - М.: Наука, 1979.

4.Оптика и атомная физика: Практикум по физике / Под ред. Р.И.Солоухина. - Новосибирск: Наука, 1976.

5.Электричество и оптика: Физический практикум / Под ред. В.И. Ивероновой.- М.: Наука, 1968.

302

Тема 2. Дифракция света

При распространении электромагнитной волны в однородной среде геометрическая форма фронта волны не испытывает изменения. Если же волна распространяется в неоднородной среде, в которой могут находиться области с резким изменением показателя преломления или непрозрачные препятствия, то её фронт искажается и происходит перераспределение интенсивности света в пространстве. В таких условиях возникает явление, получившее название дифракции. Под дифракцией понимается любое отклонение света от прямолинейного распространения, если только оно не может быть объяснено как отражение или преломление.

Дифракция наблюдается всегда, когда изменение амплитуды или фазы волны неодинаково по всей поверхности волнового фронта.

1. Краткая теория дифракции света. Принцип Гюйгенса-Френеля

Первая теория дифракции света, правильно количественно описывавшая явление, предложена французским физиком Френелем. В основе теории лежит принцип Гюйгенса-Френеля. Гюйгенс, изучавший закономерности направления распространения волн, предположил, что каждую точку волнового фронта можно считать центром вторичных сферических волн, а волновой фронт в любой последующий момент времени

– огибающей этих волн. Френель дополнил принцип Гюйгенса утверждением, что вторичные волны интерферируют между собой. Благодаря этому огибающая вторичных волн, введенная Гюйгенсом формально, приобрела физическое содержание как поверхность, где, благодаря взаимной интерференции вторичных волн, результирующая волна имеет максимальную интенсивность.

Рассмотрим какой-либо экран с отверстием, через которое проходит свет от данного источника (рис. 1). Будем считать источник точечным и монохроматическим, а размеры отверстия много больше длины волны света. Задача состоит в том, чтобы определить в любой точке Р за экраном напряженность электрического поля Ер. Решая эту задачу по методу Френеля, предположим, что напряженность Е в точках отверстия такова, какой она была в случае свободного распространения волны от источника вообще при отсутствии какого бы то ни было экрана, и что в точках, находящихся непосредственно за экраном, напряженность поля равна нулю. Свойства экрана (шероховатость, материал и так далее) не играют никакой роли. Существенна только форма края отверстия и совершенно не существенна форма удалённой от краёв части экрана. Проведём мысленно произвольную поверхность S, закрывающую отверстие в экране и ограниченную краями отверстия (рис. 1).

303

Рис. 1. К формулировке принципа Гюйгенса-Френеля

Разделим эту поверхность на малые по сравнению с размерами отверстия участки площадью dS, но большие по сравнению с длиной волны. Напряжённость dEp, создаваемая элементарным участком dS в точке Р, пропорциональна напряжённости Е на самом участке dS (какой она была бы при отсутствии экрана) и проекции dSn площадки dS на плоскость, которая перпендикулярна волновому вектору k луча, пришедшего из источника света в dS.

При вычислении вклада волны от участка dS в Eр нужно учесть изменение амплитуды и фазы вторичной волны при её распространении от dS к точке Р. Это приводит к появлению в выражении для dEp множителя eik / , где расстояние от dS до Р, а k=2 / волновое число. Таким образом,

dEp K( )E			eik		dSn ,				(1)
	где K( )			коэффициент, учитывающий
	зависимость амплитуды вторичных волн
	от угла между нормалью к участку dS и
	направлением						распространения
	вторичной волны. В выражении (1) и
	далее			для		простоты		восприятия
	множитель exp(-i t), зависящий только от
	времени, не записываем. Френель
	предполагал,					что	модуль		K( )
	максимален при = 0 и плавно убывает с
Рис. 2. Вид функции K( ) в интеграле	увеличением . При						=	/2	функция
	K( )=0. Вид функции K( ) в (1) показан
Гюйгенса-Френеля	на рис. 2. Полное поле в точке Р
представляет собой суперпозицию полей				(1)		вторичных		волн	от всех
элементов dS поверхности, закрывающей отверстие в экране,
Ep K( )E		eik	dSn .						(2)
S

Выражение (2) называют иногда дифракционным интегралом Гюйгенса-Френеля, которое интерпретировано как амплитуда электрического вектора световой волны. В связи с этим надо помнить, что во

304

времена Френеля, а основная его работа по дифракции света относится к 1818 году, пользовались другими терминами. В частности, величину Ep из (2) называли «возмущение световой волны». Представление о свете как об электромагнитной волне возникло спустя пятьдесят лет.

Суммирование действия всех элементов волновой поверхности является задачей интегрального исчисления, которая может быть очень сложной.

Френель разработал два метода суммирования: первый, геометрический, применяемый к задачам осевой симметрии (метод зон Френеля), и второй, общий (аналитический), использующий интегралы Френеля, особенно полезные для решения задач о дифракции на краю экрана, прямоугольной щели, и так далее.

2. Метод зон Френеля

Рассмотрим прохождение света через круглое отверстие в непрозрачном экране D D (рис. 3).

Рис. 3. К вычислению напряжённости поля в точке Р

Будем считать, что точечный источник О и точка наблюдения Р лежат на прямой, проходящей через центр отверстия С и перпендикулярной его поверхности. В качестве вспомогательной поверхности S выберем часть сферы радиусом r0 c центром в источнике света и проходящей через края отверстия. В соответствии со сделанным предположением напряжённость поля на вспомогательной (сферической) поверхности будет такой же, как и при отсутствии экрана. Она одинакова на всех её элементах и равна

E A eikr0 E0eikr0 , (3)

r0

где А - const.

В качестве элемента суммирования dS в силу симметрии задачи удобно взять на сфере кольцо, все точки которого лежат на одинаковом расстоянии от точки Р. Площадь такого кольца

305

dS dS

n

2 r 2

sin d .

(4)

По данным рис. 3 видно, что

0

2 r 2

(r

r)2 2r

(r r) cos ,

(5)

0

0

0

0

где r − расстояние от сферы до точки Р.

Дифференцируя это уравнение (при постоянных r0 и r), получим

ρdρ r0 (r0 r)sin d .

(6)

Из уравнений (4) и (6) следует

r0

dSn

2

dρ.

(7)

r0 r

Подставляя (3) и (7) в (2), получаем

r0

ρmax

Ep

2π

E0 eikr 0

К( )eik d .

(8)

r0

r

r

В (8) функция К( ) из (1) выражена через переменную .

Рис. 4. Построение зон Френеля

Френель предложил следующий способ приближённого вычисления интеграла в (8). Построим сферы с центром в точке Р, радиусы которых

равны r, r+ /2, r+2 /2, …, r+n /2,… (рис. 4). Эти сферы разобьют поверхность S на кольцевые области, называемые зонами Френеля. При таком разбиении вторичные волны от соответствующих границ двух соседних зон приходят в точку наблюдения Р в противофазе.

Легко показать, что радиус окружности, отделяющий n-ю зону Френеля от (n+1)-й, приближённо равен

R n	n	,	(9)
	1 r0 1 r

а зоны Френеля имеют примерно одинаковую площадь, которая равна

0 r0 r . (10) (r0 r)

Так как << r, то значение в пределах одной зоны меняется незначительно и плавно меняющуюся функцию направления K( ) в пределах

306

одной зоны при интегрировании можно считать постоянной и равной Kn для n-й зоны. С учётом этого вклад n-й зоны в интеграле (8) легко вычисляется:

		r n		2	Kn	eikr eikn 2	(1 e ik 2 )	Kn
	Kn eik d								eikr ei n (1	ei )
		r (n 1) 2			ik			ik		(11)
		2Kn	( 1)n eikr ,
		ik

где k = 2 / - волновое число.

Вычисление напряжённости поля в точке Р сводится к суммированию полей (11) от всех зон Френеля, то есть к вычислению суммы

знакопеременного ряда:
E	p		4 ir0	E	eik (r0 r ) (K		K		K		K		...).	(12)
			k(r r)
				0		1		2		3		4
Ряд			0
			K1	K2 K3 ...( 1)n 1 Kn										(13)

можно приближённо вычислить по методу Шустера. Перепишем (13) в виде

		K	1		K	1	K2	K	3			K	3	K4	K	5		....
																			(14)
		2			2			2				2			2

Последний член в (14) равен Kn /2 или Kn-1/2-Kn в зависимости от чётности рассматриваемого числа зон Френеля.

Так как функция K с увеличением номера зоны уменьшается монотонно, можно считать, что Kj равно среднему арифметическому соседних значений Kj-1 и Kj+1. Тогда каждый член в (14), заключённый в скобки, равен нулю и, значит, приближённо можно считать, что

				K1				Kn			,			если n нечётно и					(15)
				2				2
					K1					Kn			,	если n чётно.					(16)
Из (15),(16) и (12) находим					2					2
			2 ir0
E	p								E			eik (r0 r ) (K				K	n	),	(17)
			k(r		r)
									0						1
			0

в котором верхний знак определён при нечётном n, а нижний при чётном. Рассмотрим предельный случай, когда радиус отверстия в экране

неограниченно возрастает. Это равносильно отсутствию экрана вообще, то есть свободному распространению света из О в Р. В этом случае для последней зоны Френеля будет являться касательной к волновому фронту

(рис. 4), = /2 и Кn, в соответствии со сделанным предположением,											равно
нулю. Амплитуда напряжённости поля в точке Р будет равна, по (17),
E	p		2 ir0	E	eik ( r0 r ) K			1 E	p,1	,	(18)
			k(r r)
				0		1		2
			0

где Ер,1- амплитуда волны в точке Р, возбуждаемая первой зоной Френеля.

307

Таким образом, амплитуда полного поля в точке Р равняется половине амплитуды поля, обусловленного действием первой зоны Френеля.

Найдём явный вид функции K1. Так как в рассматриваемом случае экран отсутствует, уравнение (18) должно находиться в соответствии с выражением, описывающим действие сферической волны, распространяющейся из точки О в Р.

Запишем амплитуду напряжённости поля сферической волны в точке Р по (3):

Ep

A

eik (r0 r )

E0 r0

eik ( r0 r ) .

(19)

r0

r

r0 r

Выражения (18) и (19) будут равны, если

K1

k

1

i

1

e( iπ2 ) .

(20)

2 i

i

Множитель exp(-i /2) можно объяснить, если предположить, что вторичные волны отстают по фазе на четверть периода от первичной волны. Присутствие множителя станет понятным, если допустить, что амплитуда первичных и вторичных волн относится как 1: . Из этого следует, что при таких допущениях относительно амплитуды и фазы вторичных волн принцип Гюйгенса-Френеля правильно описывает распространение сферических волн в свободном пространстве. Однако приведённые дополнительные предположения нужно рассматривать просто как удобный способ интерпретации математических выражений, не имеющий какого-либо физического смысла.

3. Графическое вычисление результирующей амплитуды

Графический способ вычисления дифракционных явлений основан на применении спирали Френеля. Это понятие возникает следующим образом: вычисление результирующего светового поля, описываемого интегралом Гюйгенса-Френеля (2), сводится к суммированию световых колебаний, возбуждаемых элементарными вторичными источниками. С математической точки зрения задача решается суммированием гармонических колебаний, имеющих одинаковую частоту, но разные амплитуды и фазы. В тех случаях, когда дифракционный экран обладает осевой симметрией, суммирование можно осуществить наглядным графическим способом − построением

векторной диаграммы.

Векторная диаграмма. Гармонические колебания с амплитудой а и фазой можно охарактеризовать комплексной амплитудой A=a exp(i ) либо вектором на плоскости переменных ReA и ImA при амплитуде, равной а, и угле наклона к оси ReA (рис. 5).

308

Рис. 5. Изображение гармонического колебания на комплексной плоскости

Сумма нескольких гармонических колебаний частоты с произвольными амплитудами и фазами есть также гармоническое колебание на частоте . Действительные значения амплитуды и фазы результирующего колебания можно определить по правилу сложения векторов, складывая векторы, изображающие колебания-слагаемые.

Спираль Френеля. Рассмотрим дифракционный экран с круглым отверстием, на который падает световая волна. Мысленно разобьем волновую поверхность на весьма узкие кольцевые зоны таким же способом, как делали разбиение на зоны Френеля. Амплитуды колебаний, создаваемых

в точке Р каждой из таких зон, обозначим вектором d A . Вследствие увеличения расстояния ρ (рис. 3) и уменьшения коэффициента К амплитуды колебаний, создаваемые узкими зонами, будут убывать по модулю и отставать по фазе с увеличением номера узкой зоны. Изобразив отставание

по фазе поворотом каждого вектора d A против часовой стрелки на соответствующий угол, получим цепочку векторов, векторная сумма которых и есть результирующая амплитуда колебаний в точке наблюдения.

На рис. 6а показан результат действия первой зоны Френеля. Здесь амплитуда колебаний от узкого кольца, прилегающего к границе первой зоны Френеля, отстает по фазе на π от амплитуды колебаний, приходящих в точку Р из центра первой зоны, поэтому соответствующие амплитудам векторы взаимно противоположны по направлению.

Продолжая построение, получим векторную диаграмму для результирующей амплитуды колебаний от действия первых двух зон Френеля (рис. 6в), затем трёх и так далее. На рис. 6г показана диаграмма для пяти зон Френеля. По мере увеличения зон Френеля цепочка будет закручиваться в спираль.

309