лабы по оптике

Рис.7. Зависимость амплитуды поля от радиуса отверстия

Рис. 6. Примеры построения векторных диаграмм для расчёта комплексной амплитуды А дифракционного светового поля: а - открыта только первая зона (остальные закрыты); б - открыта только вторая зона Френеля; в - открыты первая и вторая зоны Френеля; г - открыты первые пять зон Френеля

В предельном случае, когда открыты все зоны Френеля, а число подзон каждой зоны велико, векторная диаграмма будет иметь вид гладкой скручивающейся спирали – спирали Френеля.

Используя векторные диаграммы, можно построить зависимость амплитуды светового поля от величины отверстия в экране (рис. 7).

С помощью спирали Френеля легко проанализировать дифракцию на диске и дифракцию на краю экрана с прямолинейной границей.

Следовательно, геометрический метод Френеля позволяет выяснить, как происходит переход от света к тени на границе геометрической тени.

4.Дифракционная длина светового пучка. Ближняя и дальняя зоны дифракции

Рассмотрим дифракцию плоской волны на круглом отверстии и попытаемся выяснить, как меняется интенсивность света I на оси отверстия по мере увеличения расстояния z от экрана до точки наблюдения P (рис. 8).

310

Рис. 8. Схема дифракции света на круглом отверстии

Если расстояние z фиксированно, то радиусы френелевских зон для плоского фронта (в формуле (9) r0 ) равны

Rn

n z,

(21)

где n - номер зоны.

Зафиксируем радиус отверстия в экране R. Тогда по мере удаления от экрана периферийные зоны Френеля одна за другой начнут выходить за пределы отверстия, пока,

наконец, в пределах не останется одна первая зона Френеля.

Используя построение на спирали Френеля (рис. 9), нетрудно видеть, что в этот момент интенсивность света I в точке наблюдения достигает максимума, после чего монотонно убывает с ростом расстояния z. Назовем расстояние z, при котором отверстие совпадает с первой зоной Френеля,

дифракционной длиной светового пучка,

обозначив это расстояние zД.

Рис. 9. Спираль Френеля

На рис. 10 показано, как изменяется интенсивность света при удалении точки наблюдения от экрана.

Рис. 10. Характер зависимости интенсивности света на оси отверстия от расстояния до экрана

Видно, что точка ZД делит область наблюдения на две зоны, в которых зависимость I от z носит разный характер. Зона, для которой

z<<zД, (22)

называется ближней зоной дифракции. В ней световой пучок сохраняет структуру, заданную формой отверстия, а интенсивность света на оси пучка примерно равна интенсивности исходной световой волны.

Для точек ближней зоны в пределах отверстия помещается множество зон Френеля, поперечный профиль пучка поддерживается почти постоянным

311

за счет интерференции элементарных вторичных волн, идущих от разных зон Френеля. Зона дифракции, для которой

z>>zД,

(23)

называется дальней зоной дифракции. Здесь интенсивность света на оси пучка много меньше интенсивности исходной волны, следовательно, световой пучок расширяется. Для точек дальней зоны в пределах отверстия помещается только центральная часть первой зоны Френеля. Интерференция вторичных волн выражена слабее. Она уже не в состоянии поддерживать исходный поперечный профиль пучка, который становится расходящимся.

Для величины zД при n=1 из (21) следует выражение
z	Д	R 2		,	(24)

где R – радиус пучка, - длина световой волны.

Осветим дифракционный экран, в котором имеется узкая щель, параллельным пучком света и будем наблюдать за освещенностью второго экрана, который стоит после дифракционного. На рис. 11 показано изменение освещенности на втором экране при различных расстояниях между экранами. Если экраны находятся очень близко друг к другу (рис. 11а), то освещенность второго экрана постоянна в пределах геометрического изображения щели в дифракционном экране и равна нулю во всех остальных точках. В этом случае свет распространяется прямолинейно. Если экраны немного раздвинуть (ближняя зона), то появляется область, где геометрическое изображение еще легко узнать, хотя на его краях и

возникают светлые и темные полосы (рис. 11б).					дифракцией
	Это	явление называют
	Френеля.		При		значительном
	расстоянии между экранами (дальняя
	зона) распределение света на втором
	экране будет определяться формой и
	размером в дифракционном экране (а
	также формой и размером источника
	света), но не воспроизводит их по
	форме (рис. 11в). Дифракция такого
	типа	называется			дифракцией
	Фраунгофера. Таким образом, для
	классификации			дифракционных
	явлений		следует	различать три
	области		образования		изображения
	препятствия или источника света:
	резкое		изображение		препятствия
	или источника света, соответствующее
Рис. 11. Измерение освещённости поперёк	фактически			прямолинейному
	распространению света и отсутствию
экрана при щели шириной 0,05 мм

312

дифракции;

дифракционное изображение препятствия – дифракция Френеля;

дифракционное изображение источника света – дифракция Фраунгофера.

5. Дифракционная расходимость пучка в дальней зоне

Исходя из представлений об интерференции вторичных волн, естественно допустить, что положение границы светового пучка (центрального максимума), или дифракционная расходимость пучка Д (рис. 12), определяется условием первого дифракционного минимума =λ, при этом области максимальной плотности энергии будет соответствовать

				,	(25)
			2

где - разность хода лучей, приходящих в точку наблюдения от противоположных границ отверстия (рис. 13).

Рис. 12. К определению угла дифракционной расходимости светового пучка

На рис. 13 видим, что D sin( Д 2), где D – диаметр отверстия. Так как дифракционная расходимость невелика (sin Д 1), можно записать для

области максимальной плотности энергии соотношение				=D Д, из которого
следует, что
Д		D	.	(26)

Рис.13. Схема фокусировки светового пучка

Выражение (26) определяет дифракционную расходимость светового пучка с начальным диаметром D в дальней зоне. Диаметр светового пучка в дальней зоне определяется формулой

D(z)=	z .	(27)
	D

313

Из (27) следует, что дифракционная расходимость пучка тем больше, чем меньше его начальный размер.

Оценим дифракционную длину zD и угловую расходимость D для пучка гелий-неонового лазера.

Полагая D=1мм, =0,63 мкм, получим из (24) и (26) zD=0,4м; D =6.10-4

рад=2 .

6. Фокусировка света как дифракционное явление

Формула для угла расходимости светового пучка (26) позволяет оценить поперечный размер пучка, который может быть получен при фокусировке света линзой. Этот параметр устанавливает предел концентрации света в пространстве.

Схема фокусировки показана на рис. 14. По законам геометрической оптики картина фокусировки симметрична относительно фокальной плоскости линзы.

Рис.14. Схема фокусировки светового луча

Очевидно, что расходимость пучка справа от фокальной плоскости определяется дифракцией и равна

Д= /dф,

(28)

где dф - диаметр пучка в фокальной плоскости. С другой стороны, тот же самый угол можно выразить через фокусное расстояние линзы F и диаметр пучка D, падающего на линзу:

Д=D/F .	(29)
Из (28) и (29) найдем
dф= F/D= (D⁄F)-1.	(30)

Если диаметр светового пучка равен диаметру линзы, то из (30) следует, что величина dф будет тем меньше, чем больше

относительное отверстие линзы, равное D/F. Максимальное отношение

D/F=1, следовательно, диаметр фокального пятна оказывается порядка длины волны света

dФ,min = .

(31)

Оценим теперь длину фокальной перетяжки lф. По данным рис. 10 и 12 видно, что длину перетяжки можно принять равной удвоенной дифракционной длине пучка с начальным диаметром dф:

314

lф=2zД, zД=d2ф/4 .	(32)
Таким образом,
lф=d 2ф /2	(33)
или, с учетом (30),
lф= F2/2D 2.	(34)

Итак, диаметр и длина фокальной перетяжки определяются формулами (30) и (33). Данные формулы следует рассматривать как оценочные, полученные на основе физических соображений.

7. Теория дифракции Кирхгофа

После открытия законов электродинамики и создания теории электромагнитной природы света (Д.К. Максвелл, 1870) была сформулирована математическая задача дифракции как задача отыскания решения волнового уравнения, удовлетворяющая определённым граничным условиям.

В качестве граничных условий Кирхгоф предложил использовать приближённые условия для светового поля: в пределах отверстий поле имеет вид как при отсутствии экранов, а на теневой стороне экранов оно равно нулю.

Общий метод решения данной задачи был предложен Кирхгофом в 1882 году, ему удалось показать, что приближённое решение задачи

дифракции совпадает с дифракционным интегралом Гюйгенса-Френеля (2). Таким образом, френелевская теория дифракции получила математическое обоснование. Для дифракции сферической световой волны на отверстии теория Кирхгофа даёт следующий результат:

	Ep K ( )E(M )	eik	dS,

где Е(М) величина поля в точке М отверстия, а

K( ) i		1 cos
		2	.

(35)

(36)

Уравнение (35), в котором функция К( ) определяется через (36), называется

дифракционным интегралом Кирхгофа Гельмгольца. График функции наклона К( ), вычисленной Кирхгофом, приведён на рис. 15. При сравнении рис. 2 и рис. 15 видно, что вид функции К( ), предлагаемой Френелем, не совсем точен. Однако при << 1, то есть при рассмотрении центральных

(приосевых) зон, К( )=К(0)=i/ , и в этом случае дифракционный интеграл (35) совпадает с (2).

315

Рис. 15. Вид функции «коэффициент наклона» в теории Кирхгофа

Итак, приближённое решение волнового уравнения для светового поля, данное Кирхгофом, подтверждает френелевскую теорию дифракции. Френель правильно угадал структуру дифракционного интеграла. В настоящее время теория Френеля сохраняет своё значение как система наглядных образов, хорошо раскрывающая физику дифракции света.

Список литературы

1.Ахманов С.А. Физическая оптика / А С.Ахманов. С.Ю Никитин. -

М.: МГУ, 1998.

2.Мешков И.Н.Электромагнитное поле.Ч.2 / И.Н.Мешков, Б.В Чириков. Ч.2. -Новосибирск: Наука, 1987.

3.Борн М. Основы оптики / М Борн, Э. Вольф. -М.: Наука, 1970.

4.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика / Д.В. Сивухин. -М.: Гл.ред.физ.-мат. лит., 1980.

5.Матвеев А.Н. Оптика/ А.Н. Матвеев. -М.: Высш. шк., 1985.

316

Лабораторная работа 2.1 Изучение дифракции Фраунгофера

Цель работы:

изучение явления дифракции света в параллельных лучах;

расчёт длины волны излучения по дифракционной картине;

измерение распределения интенсивности света по порядкам дифракции.

Оборудование: гелий-неоновый лазер, спектральная щель и фотоприёмное устройство.

Теоретическое введение

Общие вопросы дифракции света изложены в данном сборнике (с.88106) или в [1].

Опыты по дифракции световых пучков показывают, что в дальней зоне дифракции угловое распределение интенсивности излучения перестает зависеть от координаты z, отсчитываемой вдоль пучка. Картина дифракции приобретает устойчивую структуру, вид которой зависит только от распределения поля в начальном сечении. Дифракцию в дальней зоне называют дифракцией Фраунгофера.

Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на экран с отверстием, расположенным в плоскости z=0 (рис. 1). Вычислим распределение интенсивности излучения в некоторой плоскости xрyp, параллельной экрану с отверстием и расположенной на достаточно большом расстоянии z от него.

Дифракционное световое поле в точке наблюдения Р с координатами (xp,yp,z) будет описываться интегралом

	E( p)	i			E	(x, y) e ik dxdy,	(1)
					0

где E0(x,y) – распределение поля на дифракционном экране (в сечении z = 0), определяемое формой отверстия; – длина световой волны; k = 2 – волновое число; x,y – координаты некоторой точки М в плоскости экрана с отверстием; определяется через координаты как

z2 (xp x)2

( yp y)2 .

(2)

Пусть О – некоторая точка в плоскости экрана с отверстием, принимаемая за начало отсчёта, а b – расстояние от точки О до точки наблюдения поля Р. Как видим (рис. 1),

b

z2 xp

2 yp

2 .

(3)

Следовательно, в параксиальном приближении, когда z >>x, y, xp, yp ,

317

x xp

1,

y y p

1,

(4)

z

z

и выражение (2) можно разложить в ряд (1+x)m=1+mx+…по малым

параметрам (4):

(x x

)2

( y y

)2

z

p

p

.

(5)

2z

2z

Рис.1. Постановка задачи дифракции

Выражение (5) называется приближением Френеля, оно точно работает в ближней зоне дифракции. В дальней зоне, где размеры дифракционной картины весьма велики, выражение (5) становится грубым.

Более точным здесь будет взять за нулевое приближение величины величину b, а не z. В этом случае можно выразить как

= b+	(x xp )2		( y y p )2	b	x2	y2		xxp	yyp	.	(6)
	2b		2b			2b			b

Формула (6) называется приближением Фраунгофера.

Подставив (6) в (1), получим

E( p)

i

exp( ikb)

(7)

b

ik

ik

E0

(x, y) exp

(x2

y

2 ) exp

(xx

p

yy

p

) dxdy.

2b

b

В (7) в знаменателе подынтегрального выражения пренебрегли отличием от b.

При дифракции на одномерных структурах уравнение (7) упрощается и принимает вид

E(x, z)					ik	2	ik			(8)
	i 1
		exp( ikb) E0	(x)exp			x exp			xxp dx.
	2 b				2b			b

Введем для точки наблюдения угловую координату , которая определяется выражением

Sin =	xp	.	(9)
	b

318

Тогда уравнение (8) примет вид

E( , z)

		i 1
			exp( ikb)
		2 b

			ik		2		(10)
E0	(x) exp			x		exp ikx sin dx.
			2b

Из (10) следует, что угловое распределение поля в дифракционной картине, вообще говоря, меняется по мере изменения расстояния z. Однако в области больших z это изменение становится все более и более слабым, и, наконец, при

kd2/2b<<1,

(11)

где d - начальный поперечный размер светового пучка, устанавливается устойчивое угловое распределение поля, определяемое формулой

		i 1		( ikb)		( ikxsin )
	E( )		e		E0 (x)e		dx.	(12)
		2 b

Перепишем (11) в виде

kd2/2 <<b,

но из (3) следует, что b определяется через z, следовательно, при каких-то

значениях	z будет выполнятся неравенство
	kd2/2<<z.	(13)
Таким образом, уравнение (12) справедливо при z>>zД.
Параметр	zД = kd2/2	(14)

называется дифракционной длиной пучка.

С математической точки зрения дифракционный интеграл в приближении Фраунгофера (12) представляет собой пространственный интеграл Фурье. По аналогии с интегралом Фурье по времени величину k sin называют пространственной частотой. Физический смысл этого

понятия раскрывает рис. 2.
По рис. 2 видно, что величина
kx=k sin	(15)

есть поперечная компонента волнового вектора, направленного из точки О (отверстия) в точку наблюдения Р.

	Используя (15), комплексную амплитуду поля в точке Р можно
представить в виде			1 i
	E(P) =			e	ikb		E(kx ) ,		(16)
			2 b
						ikxx
где	E(k	x	) E0 (x)e					dx.	(17)

319