30 .

Сила трения, приложенная к внутреннему цилиндру,

30

30

,

где S = - площадь боковой поверхности внутреннего цилиндра. С другой стороны, сила трения равна крутящему моменту М, деленному на плечо (d/2):

2 .

Приравнивая правые части выражений для силы F, находим динамическую вязкость:

60	60·0,065 0,210	0,202	0,0266 Па · с
	3,14 ·0,201 ·120·0,12

Кинематическая вязкость масла

υ	0,0266		0,29·10 м /с.
		910

ТЕМА 2. Гидростатическое давление

Гидростатика − это раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкости и применение этих законов для решения практических задач.

Гидростатическим давлением в точке называется напряжение сжатия в ней, равное

∆

∆lim ∆ ,

где ∆S − элементарная площадка, содержащая данную точку;

∆Р − нормальная сжимающая сила, действующая на эту площадку.

Гидростатическое давление направлено по нормали к площадке, в данной точке по всем направлениям одинаково, зависит от положения точки в покоящейся жидкости.

9

Рис 2.1

Единицей давления в СИ является паскаль (Па):

1 Па 1м 10 кПа 10 МПа.

Равновесие жидкости описывается дифференциальными уравнениями Эйлера, в результате преобразования которых может быть получено основное уравнение равновесия в дифференциальной форме:

,

(2.1)

где dp − полный дифференциал давления; X, Y, Z — проекции ускорения массовых сил на координатные оси; dx, dy, dz − приращения координат.

Если на жидкость действует только сила тяжести и ось направлена вертикально вверх, то X = 0, Y = 0, Z = - g, и после интегрирования уравнения (2.1) получаем основное уравнение гидростатики:

,

(2.2)

где р − давление в точке, расположенной на высоте z от горизонтальной плоскости сравнения 0−0.

Полное (абсолютное) гидростатическое давление в любой точке жидкости

(2.3)

где − давление на свободной поверхности, pgh − вес столба жидкости высотой h с площадью поперечного сечения, равной единице (h − глубина погружения точки).

Поверхности уровня (поверхности равного давления) в рассматриваемом случае представляют собой горизонтальные плоскости. Действительно, из уравнения (2.1) при р = const, dp = 0, X = 0, Y = 0, Z = - g получаем

10

Избыточным или манометрическим давлением.		(2.4)
		называется разность между
абсолютным и атмосферным давлением :
вак	.	(2.5)

Вакуум − это недостаток давления до атмосферного

Величины	вак	.				(2.6)
	и вак	ман				(2.7)
			вак				(2.8)

Называются соответственно пьезометрической и вакуумметрической высотами. Плоскость П−П, во всех точках которой давление равно атмосферному, называется пьезометрической плоскостью. Если сосуд открыт, то пьезометрическая плоскость совпадает со свободной поверхностью жидкости.

Для закрытого сосуда пьезометрическая плоскость может располагаться и выше свободной поверхности жидкости (при ) и ниже ее (при ). Избыточное (манометрическое) давление в любой точке

жидкости

ман ,

где H − глубина погружения точки под пьезометрической плоскостью.

Рис. 2.2

11

ПРИМЕРЫ

2.1 В сообщающиеся сосуды налиты вода (ρ = 1000 кг/м ) и бензин (рис 2.2). Определить плотность бензина, если высота столба воды h = 150 мм, а разность уровней жидкости в сосудах a = 60 мм.

Решение. Из уравнения (2.2) следует, что во всех точках горизонтальной плоскости, проходящей в однородной жидкости,

гидростатическое давление одинаково.				Следовательно,							, но
, а		(h + а),		где				−	плотностьв		бензинав .
Приравнивая правые частиρвыражений для						давлений			в	и , получаем
							ρ	,
		ρ		ρ
Откуда ρ		1000					714мкг.

2.2.Определить избыточное давление воды (ρ = 1000 кг/м ) в закрытом резервуаре, если показания батарейного двух жидкостного

манометра (вода − ртуть) равны = 800 мм, = 100 мм, = 600

мм, = 200 мм, = 1400 мм (рис. 2.3).

Решение.

Находим последовательно избыточные давления в точках В, С, D, E, F, G и K, принимая во внимание тот факт, что во всех точках горизонтальной плоскости, проведенной в однородной жидкости, гидростатические давления одинаковы:

		ρ		в		ρртρрт	;	ρ	;
	ρрт				рт	ρрт		ρ
Избыточное давление в			резервуаре
				ρ		ρ		ρрт
ρ	ρрт	ρрт					ρ
ρ		0,2		0,6		0,1			0,2
13 600·9,81 1,4							1000·9,81 0,6
		0,8		0,1		219 000 Па.
					12

К
E	D
	C	B
h1	F
G			h3
h2		h4

h5

			Рис 2.3
2.3. Манометр, подключенный к			закрытому резервуару с нефтью (ρ = 900
кг/	м	),показывает избыточное	давление	ман	= 36 кПа.	Определить
абсолютное давление воздуха на поверхности жидкости						и положение

пьезометрической плоскости, если уровень нефти в резервуаре Н = 3,06 м, а расстояние от точки подключения до центра манометра z = 1,02 м (рис.

2.4), атмосферное давление	100 кПа.
Решение. Избыточное давление в точке B
ман ρ	36 000 900·9,81·1,02 45 000 Па.

С другой стороны, то же давление:

ман ρ .

Отсюда избыточное давление на поверхности жидкости

ман

ρ

45 000 900·9,81·3,06 18 000 Па,

а полное давление

ман	18 000 100 000 118 000 Па.

Расстояние пьезометрической плоскости от свободной поверхности жидкости

ман	18 000	2,04 м.
ρ	900·9,81
	13

2.4.Поршень пружинного гидроаккумулятора диаметром D = 250 мм во время зарядки поднялся вверх на высоту х = 14 см (рис. 2.5). Определить жесткость пружины с, если давление жидкости р = 1,0 МПа. Трением между поршнем и цилиндром и весом поршня пренебречь.

Решение. Из уравнения равновесия поршня, на который сверху действует сила упругости пружины (F = сх), а снизу − сила давления жидкости

4:

	πD	Находим
c p		3,14·0,25	·10	350H/мм
	4	4·140

П П

hp

		D
	pман	H
B	z	p
Рис 2.4		Рис 2.5

2.5. Определить давление масла подводимого в поршневую полость гидроцилиндра, если избыточное давление в штоковой полости = 80 кПа, усилие на штоке R = 10 кН, сила трения поршня о цилиндр F = 0,4 кН, диаметр поршня D = 125 мм, диаметр штока d = 70 мм (рис. 2.6).

R

P2 P1

Рис 2.6

14

Решение. Искомое давление				находим из условия равновесия
поршня, на который, кроме силы R,действуют силы давления
			4					4
и сила трения F, направленнаяипротив перемещения поршня:
Либо						0					0.
Отсюда		4							4
	4·10 000	4			1					4
							70					4·400
		80·10			1
3,14·0,125		9,03·10		Па		125					3,14·0,125

2.6. Гидравлический домкрат (рис. 2.7) состоит из неподвижного поршня 1 и скользящего по нему цилиндра 2, на котором смонтирован корпус 3, образующий масляную ванну домкрата, и плунжерный насос 4 ручного привода со всасывающим 5 и нагнетательным 6 клапанами.

Определить давление рабочей жидкости в цилиндре и массу поднимаемого груза m, если усилие на рукоятке приводного рычага насоса R = 150 Н, диаметр поршня домкрата D = 180 мм, диаметр плунжера насоса d = 18 мм, КПД домкрата η = 0,68, плечи рычага а = 60 мм, b = 600

мм.

Решение.

При движении рукоятки рычага вверх плунжер перемещается вниз, в рабочей камере насоса А создается высокое давление, под действием которого открывается клапан 6, и жидкость вытесняется в полость Б При этом корпус насоса 3 вместе с грузом поднимается вверх. Давление жидкости в полостях А и Б выравнивается.

На поршень 1 домкрата снизу вверх действует Рис. 2.7 сила, равная весу поднимаемого груза G = mg, на плунжер насоса 4 — сила Р, направленная вниз,

15

которую определяем из условия равновесия рычага:

Если пренебречь весом столба жидкости между плунжером насоса и поршнем домкрата, то давление рабочей жидкости в полостях А и Б будет равным

44 .

Отсюда находим теоретическое значение массы груза

.

Поскольку при выводе формулы для m не были учтены силы трения в насосе и цилиндре домкрата, то действительное значение массы поднимаемого груза будет меньше m:

150 600 180 2

9,81 60 18

0,68 104кг.

Давление рабочей жидкости

44·10 ·9,81 3,86·10 Па. 3,14·0,18

ТЕМА 3. Сила гидростатического давления на стенки и криволинейные поверхности.

Избыточная сила гидростатического давления на плоскую стенку равна давлению в центре тяжести стенки, умноженному на ее площадь,

		(3.1)
где	глубина погружения центра тяжести стенки под свободной
поверхностью; S − площадь стенки;		− избыточное давление на

свободной поверхности жидкости (рис. 3.1).

Формулу (2.9) можно переписать в виде

ж	(3.2)

16

где	− сила, обусловленная внешним давлением;					жидк
сила,	обусловленная	только	давлением
					ж
ости.			ж
Сила	приложена в центре тяжести стенки, сила			− в центре давления
координата которого определяется по формуле

Рис. 3.1	д		(3.3)

где − координата центра тяжести; − момент инерции плоской фигуры относительно центральной оси.

Избыточная сила давления на плоскую стенку

(3.4)

где − расстояние от центра тяжести стенки до пьезометрической плоскости П−П.

Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность

(3.5)

где , , составляющие силы избыточного давления по соответствующим координатным осям.

Для цилиндрической криволинейной поверхности

где	и	горизонтальная и вертикальная составляющие силы Р.
Горизонтальная составляющая			в
		ρ		(3.6)

17

где

−

расстояние от

центра

тяжести

вертикальной

проекции до

пьезо метрической

плоскости;

−

площадь п роекции

криволинейной

поверхности на вертикальную плоскость.

Вертикальная составляю щая

(3.7)

где

V

объ ем

тела

давления

−

вертикаль ного столба жид кости,

расположенного между

пьезометрической плоскостью,

криволинейной

поверхностью и вертикальной проецирую щей поверхностью,

проходящей

по контуру стенки.

поверхность

Вектор

полной силы давления

на

цилинд рическую

проходит через ось цили ндра под углом φ к горизонту, причем

(3.8)

Рис 3.2

ПРИ МЕРЫ
2.7. Определи ть величину	и	точку	приложения	силы	давления на
крышку, перекрывающую круглое отверстие диаметром d					= 500	мм в
верти кальной перегор одке	закрытого		резервуара,	если	левый	отсек
резервуара заполнен нефтью		(ρ = 900 кг/м3), правый			− воздухом.
Избыточное давление н а повер хности жидкости				= 15кПа, показание
ртутного мановакуумметра,	подключенного к правому отсеку резе рвуара,

h = 80 мм, центр отверстия распо ложен на глубине Н = 0,8 м, атмосферное

давле ние	= 100 кПа (рис. 3.3).
Решение.	Находим дав ление	воздуха	в правом отсеке	резервуара	.
Поскольку давления в точках		В и С,	принадлежащих	горизонтальной
плоскости, одинаковы и равны атмосферному да влению (100 кПа ),					т. е
	, то абсолютное давление воздуха в правом отсеке

18

Сила давления воздуха на крышку справа

п	п	89 300	, · ,	17 500 .
					Рис. 3.3

Эта сила приложена в центре тяжести крышки.

Абсолютное давление воздуха на поверхности жидкости в левом отсеке

л	ман 100 000 15 000 115 000 Па.

Сила давления воздуха на крышку слева

			115 000	3,14·0,5	22 600 .
л	л	4		4

Эта сила приложена в центре тяжести крышки. Сила давления жидкости на стенку

	ж ρ	ρ		900·9,81·0,8	3,14·0,5	1380 .
			4
					4

Эта сила приложена в центре давления, расстояние до которого от поверхности жидкости

		4		0,8	0,5	0,82 м.
д		64	16		16·0,8
Полная сила давления на крышку			1380	17 500 6480 .
	л	ж п 22 600

19

				Рис. 3.4						Рис. 3.5
Расстояние х
		результирующей силы Р от поверхности жидкости найдем,
используя теорему о моменте равнодействующей
откуда							л	ж д	п	,
	ж д	л			п	1380·0,82		22 600		17 500 0,8	0,804 м.
2.8.	Квадратное отверстие (а						а = 0,46480
									0,4 м) в вертикальной стенке
	резервуара с бензином (р = 750 кг/м3) закрыто крышкой (рис. 3.4).
	Найти силу давления на крышку и точку ее приложения, если центр
	отверстия находится на глубине Н = 2,0 м, вакуум на поверхности
	жидкости				= 60 кПа.
Решение. Сила,			обусловленная внешним давлением,
				вак		вак	60 00·0,4		9600 .

Приложена она в центре тяжести крышки и направлена влево. Сила, обусловленная весом жидкости,

ж ρ

ρ

750·9,81·2,0·0,4

2350 .

Она приложена в центре давления и направлена вправо. Координата центра давления

			2	0,4	2,007 м.
д		12		12·0,4 ·2

Полная сила давления на крышку

20

ж9600 2350 7250

направлена влево. Расстояние линии действия этой силы от поверхности жидкости в резервуаре находим, используя теорему о

моменте равнодействующей:			ж д,
	ж д 9600·2		2350·2,007	2,0 м.
			7250

2.9.Круглое отверстие в вертикальной стенке закрытого резервуара с водой перекрыто сферической крышкой (рис. 3.5). Радиус сферы

R = 0,3 м, угол = 120°, глубина погружения центра тяжести

отверстия Н = 0,5 м.

Определить силу давления на крышку, если избыточное давление на поверхности воды = 10 кПа.

Решение. Находим радиус отверстия и высоту сферического сегмента:

					2		0,3sin60°	0,26	м;
		cos					0,3 0,3cos60°		0,15 м.
Расстояние пьезометрической2плоскости от поверхности жидкости
							10 000	1,02 м.
			ρ				1000·9,81
Горизонтальная составляющая силы давления на крышку
ρ	в	3160 .					1000·9,81 0,5		1,02 3,14·0,26

Вертикальная составляющая силы давления на крышку равна весу жидкости в объеме сферического сегмента (на рисунке заштрихован):

ρ	ρ	1	3
		3		1
		1000·9,81			·3,14·0,15	3·0,3	0,15	173 .
Полная сила давления на			крышку
				3

21

3160 173 3165 .

Угол наклона силы Р к горизонту

173	3	°	08 .
3160

2.10.Определить силу давления жидкости на закругление (рис. 3.6), а также отрывающее и сдвигающее усилия, которые возникают на стыках закругления с прямолинейными участками трубопровода,

если диаметр трубы d = 250 мм, угол поворота = 60°, избыточное давление жидкости р = 0,5 МПа. Весом жидкости пренебречь.

Рис. 3.6

Решение. На закругление действуют силы гидростатического давления

| | | |		500 000	3,14·0,25	24 500 .
	4		4

Результирующая этих двух сил

2	2·24 500·cos60° 24 500 .

Отрывающие усилия на стыках

от

24 500 .

Сдвигающие усилия на стыках

22

сд	cos		24 500·cos 30° 21 200 .

ТЕМА 4. Закон Архимеда. Плавание тел.

По закону Архимеда на тело, погруженное в жидкость, действует вертикальная выталкивающая (архимедова) сила, направленная вертикально вверх,

P = ρgV,

(4.1)

где V − объем погруженной части тела. Центр тяжести D вытесненного объема жидкости является центром водоизмещения (рис. 4.1). При наклоне (крене) плавающего тела центр водоизмещения изменяет свое положение.

Линия, проходящая через центр тяжести тела С и центр водоизмещения D в положении равновесия перпендикулярно к свободной поверхности жидкости (плоскости плавания), является осью

плавания. В положении равновесия ось плавания
вертикальна, при крене − наклонена.
						Рис. 4.1
Точка пересечения М линии действия
выталкивающей силы при	наклонном			положении	с осью плавания
называется метацентром. Расстояние				между центром тяжести тела С и
метацентром М называется метацентрической высотой. Чем больше							,
			м
тем больше остойчивость тела(способность переходить из крена							мв
положение равновесия), так как момент пары сил Р − G, стремящейся
восстановить равновесие;	прямо	пропорционален			метацентрической
высоте. Величина метацентрической высоты
	м			,	(4.2)

где J − наименьший момент инерции площади плоскости плавания; е − расстояние между центрами тяжести и водоизмещения.

23

Если метацентр лежит ниже центра тяжести тела, т.е. метацентрическая высота отрицательна, то тело остойчивостью не обладает.

ПРИМЕРЫ

4.1. Во избежание переполнения водой резервуар снабжен поплавковым клапаном, перекрывающим отверстие диаметром d = 50 мм в дне резервуара (рис.4.2). Определить диаметр D цилиндрического поплавка высотой h = 100 мм, при котором максимальный уровень воды в резервуаре не будет превосходить Н = 1,0 м. Вес клапана G =10 Н, весом поплавка пренебречь.

Решение. Составим уравнение равновесия поплавка при Н = 1,0 м:

где Р − сила гидростатического	давления воды, прижимающая клапан к
	ρ ,
отверстию в дне резервуара:	1000·9,81·1,0		19,2	,
ρ		, · ,
	объем погруженной части поплавка;			−

глубина погружения, которая не может быть больше h = 100 мм. Принимая = h = 100 мм, из уравнения равновесия поплавка находим его диаметр

4			4 10	19,2	0,2 м.
		ρ	3,14·1000·9,81·0,1
	Рис. 4.2
4.2				= 5 м ширину b = 2,5
	Понтон (рис. 4.3) весом G = 8 кН имеет длину

м и высоту h = 1м. Проверить понтон на остойчивость при максимальной

нагрузке G', при которой высота бортов над ватерлинией		= 0,4 м, если
центр тяжести понтона расположен на расстоянии	=∆0,5 м, а центр

24

тяжести дополнительной нагрузки — на расстоянии с" = 2,5 м от днища понтона, плотность воды ρ= 1000 кг/м3.

Решение. Величину дополнительной нагрузки находим из условия равновесия понтона:

	∆	2,5·5 1 0,4	,
погруженной в воду			7,5 м	объем
где

части понтона;

ρ 1000·9,81·7,5 8000 6,55·10 .

Находим расстояние центра тяжести понтона с грузом от его днища

"

8·0,5

65,5·2,5

8·65,5

жидкости от нижней

Расстояние центра тяжести

вытесненного объема

2,28 м.

плоскости понтона

∆

0,5 1,0

0,4

0,3 м.

Расстояние от центрад 0,5

тяжести понтона до центра водоизмещения

Метацентрическая высота

д

2,28

0,30

1,98 м.

м

5·2,5

12

12·7,5

высота отрицательная.

Понтон неостойчив, так как метацентрическая

1,98

1,11 м.

Рис. 4.3

25

ТЕМ А 5. Относительный покой жидкости

1 Случай. При движении сосуда в горизонтальном направлении с постоянным ускорением (рис. 5.1) на жидкость, находящуюся в нем, действует сила тяжести и сила инерции. Свободная поверхность представляет собой наклонную плоскость, уравнение которой имеет вид

(5.1)

где С − постоянная величина; а − ускорение сосуда. Гидростатическое давление в любой точке жидкости

(5.2)

где h − расстояние по вертикали от точки до свободной поверхности. Пьезометрическая плоскость П − П − поверхность уровня, во всех точках которой давление равно атмосферному, проходит параллельно свободной поверхности на высоте

если давление на свободной поверхности > (рис. 5.1), или на глубине

под свободной поверхностью жидкости, если

Рис. 5.1

Сила давления на

плоскую стенку в этом случае

				(5.3)
		где	и	− расстояния
		по вертикали от центра
Рис. 5.2	Рис. 5.3	тяжести стенки до
	26

свободной поверхности жидкости и до пьезометрической плоскости соответственно. Сила давления на криволинейную поверхность (рис. 5.2) может быть найдена из условия динамического равновесия объема жидкости V, заключенного между криволинейной поверхностью и плоскостью, проведенной через граничный контур поверхности (на рис. 5.2 этот объем заштрихован):

,

(5.4)

где − сила давления на плоское сечение АВ, определяемая по формуле (5.3); F = paV − сила инерции; G = pgV − вес объема жидкости.

2 Случай. При вращении сосуда вокруг вертикальной оси z (рис. 5.3) на любую частицу жидкости кроме силы тяжести действует также центробежная сила инерции

		составляющие				(5.5)
которую можно разложить на
		∆	∆	,
						(5.6)
где	угловая скорость; r − расстояние частицы от
	− масса частицы∆; −	∆	, ∆	∆	,
оси	∆вращения, х и у − проекции вектора			на координатные оси, причем

Следовательно, проекции ускорения массовых сил на координатные оси в рассматриваемом случае равновесия жидкости равны

	Подставив эти значения X, Y,и Z в дифференциальное,					.уравнение
	равновесия (2.1) и выполнив интегрирование, получим
	где			поверхности,		(5.7)
		− давление на свободной			−,вершина параболоида
				ρ

вращения.

В произвольной точке, расположенной на глубине h под поверхностью жидкости, давление

ρ .

(5.8)

Поверхности уровня представляют собой параболоиды вращения. Уравнение свободной поверхности жидкости имеет вид

27

				(5.9)
Пьезометрическая поверхность при р =.
			совпадает со	свободной
поверхностью жидкости. Если свободная			поверхность	отсутствует

(закрытый сосуд полностью заполнен жидкостью под давлением), то пьезометрическая поверхность проходит через точку жидкости, в которой давление равно атмосферному (например, через уровень в открытом пьезометре, где р = ).

Если R − радиус сосуда, а − угловая скорость, то высота					параболоида
вращения				.
Объем параболоида вращения					(5.10)
п			.		(5.11)

ПРИМЕРЫ

2.3.Определить силы давления воды на плоскую и сферическую крышки цистерны, которая движется горизонтально с ускорением а = 1,5 м/с2

. Радиус цистерны R = 0,75 м, ее длина L = 3 м, высота наполнения h

= 1,0 м (рис. 5.4).

Решение. Находим положение пьезометрической плоскости П−П. Она проходит через точку О (где давление равно атмосферному). Угол наклона к горизонту находим из уравнения, полученного интегрированием дифференциального уравнения поверхности уровня

Рис. 5.4							− g:
				в котором X = − a, Y = 0, Z =0,
			,	1,5			0,153.
						9,81

Сила избыточного давления воды на плоскую крышку

ρ,

28

расстояние по вертикали∆от			0,5	1 0,5·3·0,153 0,77 м
где
			пьезометрической плоскости П−П до центра
тяжести крышки;		1000·9,81·0,77·3,14·0,75			13 300 .
Силу	ρ
	давления на сферическую крышку найдем из условия относительного

равновесия жидкости в объеме V (на рисунке заштрихован)

,

где − сила давления на плоское сечение АС, равная

ρ0,5

	1000·9,81 1				0,5·3·0,153	·3,14·0,75					21 300	,
G − вес жидкости объемом V, равный						2
		2
F− сила	ρ	ρ	3		1000·9,81·			3		·3,14·0,75	8650 .
	инерции жидкости объемом V, равная
		2				2
	ρ	ρ		3	1000·1,5·		3		·3,14·0,75		1320 .

Полная сила давления воды на сферическую крышку

21 300

1320

8650

24 200 .

2.4.Определить частоту вращения цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси, при которой сила давления воды на его верхнем днище Р = 6500 Н (рис. 5.5). До начала вращения уровень воды в открытых пьезометрах, установленных в верхнее днище на

	расстояниях	= 150 мм и	= 300 мм от
	оси вращения цилиндра, был равен h = 700
				Рис. 5.5
			29

мм. Радиус	цилиндра R = 450 мм, диаметры пьезометров
одинаковые.

Решение. При вращении сосуда вокруг вертикальной оси пьезометрическая поверхность (поверхность уровня с давлением р = = const), представляющая собой параболоид вращения, проходит через уровни жидкости в открытых пьезометрах:

2

где − расстояние вершины параболоида от начала координат, которое выбираем на поверхности верхнего днища.

Высоты столбцов жидкости в пьезометрах:

причем 0,5 ( + ) = h,	2	,		2		,
	так как объем жидкости в рассматриваемой
системе постоянный:
1					.
2		2	2

Отсюда находим выражение для координаты вершины параболоида:

44 .

Полное давление в любой точке жидкости во вращающемся цилиндре

где	=	− давление на	пьезометрической поверхности. Избыточное
			2		ρ	,
давление в любой точке жидкости					ρ	.
		ман		2

30

Поскольку для всех точек днища z = 0, то избыточное давление в любой его точке

или с учетом того, что	ман		2			ρ ,
ман ρ	2				4	4	,
где r − расстояние точки от оси вращения;						− искомая угловая скорость.

Найдем выражение для силы давления воды на крышку. Для этого разобьем ее на элементарные кольцевые площадки. Сила, приходящаяся на эту площадку,

	2	ман 2						,
			2	4		4
	а сила давления на всю крышку

		2		ρ			2				4	4	.
Отсюда находим		угловую скорость
		ρ	ρ			4
2										6500		1000·9,81·0,7·3,14·0,45
										1000·3,14·0,45			0,45	0,3	0,15
Искомая частота вращения сосуда									12,2		.
			30			30·12,2					117 мин .
									3,14

31