2.4.3. Многозначные логики.
В многозначных логиках высказывания и предикаты могут принимать не 2 значения (истина или ложь), а более. Существует множество таких логик, находящих все большое применение. Рассмотрим здесь трехзначную логику Лукашевича и четырехзначную логику параллельных миров (логику возможных миров).
В логике Лукашевича возможно три истинностных значения: 0 – ложно, 1 – возможно, 2 – истинно.
Используются дополнительные кванторы (квантификаторы) ?(29)
и ?(30)
//таблицы истинности – рисунок (31)
|
F |
F |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
0 |
2 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
0 |
|
2 |
0 |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
F |
|
|
|
↔ |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
0 |
|
F→G = F G |
|
1 |
0 |
2 |
|
1 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
2 |
2 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
2 |
|
|
Формула F ↔ G = (F → G ) (G F) здесь не действительна.
Здесь, справедливы формулы:
//формулы (32)
(F G) = F G
(F G) = F G
В логике параллельных миров предполагается, что есть несколько миров текущий (X) и множество параллельных. Соответственно определено четыре истинностных значения.
A) Необходимо (абсолютно) истинно (3) – истинно как в текущем мире X, так и во всех параллельных мирах.
B) Случайно истинно (2) – истинно в текущем мире X, но может существовать мир Y, где высказывание (предикат) ложно.
C) Случайно ложно (1) – ложно в текущем мире X, но может существовать мир Y, где высказывание (предикат) ложно.
D) Необходимо (абсолютно) ложно (0) – ложно как в текущем мире X, так и во всех параллельных мирах.
Приведем таблицы истинности.
//таблицы истинности (33)
|
F |
F |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
3 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
2 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
0 |
0 |
2 |
2 |
|
3 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
F |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
0 |
3 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
3 |
3 |
|
1 |
0 |
3 |
|
F→ G = F G |
|
2 |
2 |
3 |
2 |
3 |
|
2 |
0 |
3 |
|
|
|
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
0 |
|
|
Особенностью этой логики является, что конъюнкция соответствует операции побитового «и», дизъюнкция – операции побитового «или», а отрицание – операции побитового отрицания (подробнее о побитовых операциях []).
Действительно, проведем вычисления.
//вычисления (34)
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
and |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
3 |
3 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
2 |
3 |
2 |
3 |
|
2 |
0 |
0 |
2 |
2 |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
|
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
not |
0 |
1 |
2 |
|
|
not |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |