Ответы к экзамену по математике

Линейная алгебра.

1.Основные сведения о матрицах

В этом разделе мы даем основные сведения о матрицах, необходимые для понимания статистики и анализа данных.

Матрицей размера mxn (читается m на n)называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,….

Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например: a_ij, где i - номер строки, j - номер столбца.

Например, матрица:

В сокращенной записи обозначаем A=(a_ij); i=1,2,…m; j=1,2,…,n

Приведем пример матрицы 2 на 2:

Вы видите, что a₁₁ = 1, a₁₂ = 0, a₂₁ = 2, a₂₂=5

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы:

Две матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, a_ij = b_ij для любых i=1,2,…m; j=1,2,…n

Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)- строкой, а из одного столбца - матрицей (вектором)- столбцом:

A=(a₁₁,a₁₂,…,a_1n) - матрица - строка

B=

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Например, порядака.

Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,…,a_nn.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

А)Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциями над числами, а некоторые - специфические.

1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число называется матрица B= A, элементы которой b_ij= a_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n

Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m называется матрица С=А+В, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.е. матрицы складываются поэлементно).

3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)∙B.

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц A_m ∙B _k называется такая матрица C_m , каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

i=1,2,…,m; j=1,2,…,n

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из этих операций):

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ (A+B)= λA+ λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=( λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые от умножения чисел:

a)      АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.

b)      АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

5. Транспонирование матрицы - переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:

Из определения следует, что если матрица А имеет размер m , то транспонированная матрица А' имеет размер n

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, А^Т

Рассмотрим квадратную матрицу

  .

Обозначим  =det A.

Б)ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если  = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^1, так что В = А^1. Обратная матрица вычисляется по формуле

,                                               (4.5)

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример 2.10. Для матрицы  найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А     значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле:   , где А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы.                  

                   

                  

                 

 откуда   .

Пример 2.11. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: А= .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы: ~ . К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на -2: . Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на 6 второй; . Прибавим третий столбец к первому и второму: . Умножим последний столбец на -1: . Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,         .