Метод Гаусса – Зейделя

Расчетные формулы имеют вид:

т.е. для подсчета i–й компоненты (k+1)–го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т.е. (k+1)–м шаге, новые значения первых i–1 компонент.

Подробные формулы имеют вид:

Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание:

Начальное приближение:

Найдем решение предыдущей системы уравнений методом Гаусса – Зейделя.

Расчетные формулы:

k	x1	x2	x3	точность
0	0	0	0
1	1.250	0.250	0.075	1.2500
2	1.106	0.321	0.132	0.1438
3	1.056	0.340	0.151	0.0500
4	1.042	0.344	0.156	0.0139
5	1.039	0.346	0.157	0.0036

Из таблицы видно, что нужная точность достигнута уже на 5–ой итерации вместо 13–ой по методу простой итерации и значения корней более близки к значениям, полученным методом обратной матрицы.

Элементы функционального анализа

1.А) Понятие функциональной зависимости

Будем говорить, что между двумя признаками X и Y существует функциональная зависимость (взаимосвязь), при которой каждому значению одного из них соответствует одно или несколько строго определенных значений другого.

Например, в функции у = 2 * х каждому значению х соответствует в два раза большее значение у . В функции каждому значению у соответствует 2 определенных значения х . Графически это выглядит так (рис. 6, 7 соответственно):

Б)!!!!!!!!????

2)???????

Векторная алгебра.

1. Векторные и скалярные величины.

 Вектор − чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач.  Вектор − направленный отрезок прямой. В курсе элементарной физики приходится оперировать двумя категориями величин −  скалярными и векторными.  Скалярными величинами (скалярами) называют величины, характеризующиеся числовым значением и знаком. Скалярами являются длина − l, масса − m, путь − s, время − t, температура − T, электрический заряд − q, энергия − W, координаты и т.д. К скалярным величинам применяются все алгебраические действия (сложение, вычитание, умножение и т.д.). 

 Пример 1. Определить полный заряд системы, состоящий из зарядов, входящих в нее, если q ₁ = 2 нКл, q₂ = −7 нКл, q₃ = 3 нКл. Полный заряд системы

q = q₁ + q₂ + q₃ = (2 − 7 + 3) нКл = −2 нКл = −2 × 10⁻⁹ Кл.

 Пример 2. Для квадратного уравнения вида 

ax² + bx + с = 0;

x_1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √{b² − 4ac}).

 Векторными величинами (векторами) называют величины, для определения которых необходимо указать кроме численного значения так же и направление. Векторы − скорость v, сила F, импульс p, напряженность электрического поля E, магнитная индукция B и др. Численное значение вектора (модуль) обозначают буквой без символа вектора или заключают вектор между вертикальными черточками  r = |r|. Графически вектор изображают стрелкой (рис. 1), 

длина которой в заданном масштабе равна его модулю, а направление совпадает с направлением вектора. Два вектора равны, если совпадают их модули и направления. Векторные величины складываются геометрически (по правилу векторной алгебры).  Нахождение векторной суммы по данным составляющим векторам называется сложением векторов.  Сложение двух векторов производят по правилу параллелограмма или треугольника. Суммарный вектор 

с = a + b

равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b. Модуль его

с = √{a² + b² − 2abcosα} (рис. 2).

При α = 90°, с = √{a² + b²} − теорема Пифагора.

Тот же вектор c можно получить по правилу треугольника, если из конца вектора  a отложить вектор b. Замыкающий вектор c (соединяющий начало вектора a и конец вектора b) является векторной суммой слагаемых (составляющих векторов a и b). Результирующий вектор находят как замыкающую той ломанной линии, звеньями которой являются составляющие векторы (рис. 3). 

 Пример 3. Сложить две силы F ₁ = 3 Н и F₂ = 4 Н, векторы F₁ и F₂ составляют с горизонтом углы α₁ = 10° и α₂ = 40°, соответственно  F = F₁ + F₂ (рис. 4).

Результатом сложения этих двух сил является сила, называемая равнодействующей. Вектор  F направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах F₁ и F₂, как сторонах, и по модулю равен ее длине. Модуль вектора  F находим по теореме косинусов

F = √{F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos(α₂ − α₁)},

F = √{3² + 4² + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)} ≈ 6,8 H.

Если

(α₂ − α₁) = 90°, то F = √{F₁² + F₂²}.

Угол, который вектор  F составляет с осью Ox, находим по формуле

α = arctg((F₁sinα₁ + F₂sinα₂)/(F₁cosα₁ + F₂cosα₂)),

α = arctg((3•0,17 + 4•0,64)/(3•0,98 + 4•0,77)) = arctg0,51, α ≈ 0,47 рад.

Проекция вектора a на ось Ox (Oy) − скалярная величина, зависящая от угла α между направлением вектора  a и оси Ox (Oy). (рис. 5)

Проекции вектора  a на оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. (рис. 6)

Чтобы не допустить ошибок при определении знака проекции вектора на  ось, полезно запомнить следующее правило: если направление составляющей совпадает с направлением оси, то проекция вектора на эту ось положительна, если же направление составляющей противоположно направлению оси, то проекция вектора отрицательна. (рис. 7)

Вычитание векторов − это сложение, при котором к первому вектору  прибавляется вектор, численно равный второму, противоположно направленный

a − b = a + (−b) = d (рис. 8).

Пусть надо из вектора  a вычесть вектор b, их разность − d. Чтобы найти разность двух векторов, надо к вектору a прибавить вектор (−b), то есть вектором d = a − b будет вектор, направленный от начала вектора a к концу вектора (−b) (рис. 9).

В параллелограмме, построенном на векторах  a и b как сторонах, одна диагональ c имеет смысл суммы, а другая d − разности векторов a и b (рис. 9). Произведение вектора  a на скаляр k равно вектору b = ka, модуль которого в k раз больше модуля вектора a, а направление совпадает с направлением a при положительном k и противоположно ему при отрицательном k.

 Пример 4. Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с. (рис. 10) 

Импульс тела p = mv; p = 2 кг•м/с = 10 кг•м/с и направлен в сторону скорости v.

 Пример 5. Заряд q = −7,5 нКл помещен в электрическое поле с напряженностью E =  400 В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.

Сила равна  F = qE. Так как заряд отрицательный, то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору E. (рис. 11)

 Деление вектора a на скаляр k равнозначно умножению a на 1/k.  Скалярным произведением векторов a и b называют скаляр «c», равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними

(a•b) = (b•a) = c,

с = ab•cosα (рис. 12)

 Пример 6. Найти работу постоянной силы F = 20 Н, если перемещение S = 7,5 м, а угол α между силой и перемещением α = 120°. 

Работа силы равна по определению скалярному произведению силы и перемещения 

A = (F•S) = FScosα = 20 H × 7,5 м × cos120° = −150 × 1/2 = −75 Дж.

 Векторным произведением векторов a и b называют вектор c, численно равный произведению модулей векторов a и b, умноженных на синус угла между ними:

с = a × b = [a, b],

с = ab × sinα.

Вектор  c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b, причем его направление связано с направлением векторов a и b правилом правого винта (рис. 13).

 Пример 7. Определить силу, действующую на проводник длиной 0,2 м, помещенный в  магнитном поле, индукция которого 5 Тл, если сила тока в проводнике 10 А и он образует угол α = 30° с направлением поля.

Сила Ампера 

dF = I[dl, B] = Idl × B или F = I(l)∫{dl × B},

F = IlBsinα = 5 Тл × 10 А × 0,2 м × 1/2 = 5 Н.

 Рассмотрите решение задач. 1. Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны a, если  модуль их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а; г) a√{2}; д) a√{3}?

 Решение. а) Два вектора направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сумма этих векторов равна нулю. 

б) Два вектора направлены вдоль одной прямой в одном направлении. Сумма этих векторов равна 2a. 

в) Два вектора направлены под углом 120° друг к другу. Сумма векторов  равна a. Результирующий вектор находим по теореме косинусов:

a² + a² + 2aacosα = a²,

cosα = −1/2 и α = 120°.

г) Два вектора направлены под углом 90° друг к другу. Модуль суммы равен 

a² + a² + 2aacosα = 2a²,

cosα = 0 и α = 90°.

д) Два вектора направлены под углом 60° друг к другу. Модуль суммы равен 

a² + a² + 2aacosα = 3a²,

cosα = 1/2 и α = 60°.

 Ответ: Угол α между векторами равен: а) 180°; б) 0; в) 120°; г) 90°; д) 60°.

2. Если  a = a₁ + a₂ ориентации векторов, то, что можно сказать о взаимной ориентации векторов a₁ и a₂, если: а) a = a₁ + a₂; б) a² = a₁² + a₂²; в) a₁ + a₂ = a₁ − a₂?

 Решение. а) Если сумма векторов находится как сумма модулей этих векторов, то  вектора направлены вдоль одной прямой, параллельно друг другу a₁||a₂. б) Если вектора направлены под углом друг к другу, то их сумма находится по теореме косинусов для параллелограмма 

a₁² + a₂² + 2a₁a₂cosα = a²,

cosα = 0 и α = 90°.

вектора перпендикулярны друг другу a₁ ⊥ a₂. в) Условие  a₁ + a₂ = a₁ − a₂ может выполниться, в случае если a₂ − нулевой вектор, тогда a₁ + a₂ = a₁.  Ответы. а) a₁||a₂; б) a₁ ⊥ a₂; в) a₂ − нулевой вектор.

3. Две силы по 1,42 H каждая приложены к одной точке тела под углом  60° друг к другу. Под каким углом надо приложить к той же точке тела две силы по 1,75 H каждая, чтобы действие их уравновешивало действие первых двух сил?

Решение.  По условию задачи две силы по 1,75 Н уравновешивают две силы по 1,42 Н.  Это возможно, если равны модули результирующих векторов пар сил. Результирующий вектор определим по теореме косинусов для параллелограмма. Для первой пары сил:

F₁² + F₁² + 2F₁F₁cosα = F²,

для второй пары сил, соответственно

F₂² + F₂² + 2F₂F₂cosβ = F².

Приравняв левые части уравнений

F₁² + F₁² + 2F₁F₁cosα = F₂² + F₂² + 2F₂F₂cosβ.

Найдем искомый угол β между векторами

cosβ = (F₁² + F₁² + 2F₁F₁cosα − F₂² − F₂²)/(2F₂F₂).

После вычислений,

cosβ = (2•1,422 + 2•1,422•cos60° − 2•1,752)/(2•1,752) = −0,0124,

β ≈ 90,7°.

 Второй способ решения. Рассмотрим проекцию векторов на ось координат ОХ (рис.). 

Воспользовавшись соотношением между сторонами в прямоугольном треугольнике, получим 

2F₁cos(α/2) = 2F₂cos(β/2),

откуда

cos(β/2) = (F₁/F₂)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) и β ≈ 90,7°.

4. Вектор  a = 3i − 4j. Какова должна быть скалярная величина c, чтобы |ca| = 7,5?  Решение.

ca = c(3i − 4j) = 7,5

Модуль вектора a будет равен

a² = 3² + 4², и a = ±5,

тогда из

c•(±5) = 7,5,

найдем, что

c = ±1,5.

5. Векторы  a₁ и a₂ выходят из начала координат и имеют декартовы координаты концов {6, 0} и {1, 4}, соответственно. Найдите вектор a₃ такой, что: а) a₁ + a₂ + a₃ = 0; б) a₁ − a₂ + a₃ = 0.

 Решение. Изобразим векторы в декартовой системе координат (рис.) 

а) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен 

a_x = 6 + 1 = 7.

Результирующий вектор вдоль оси Oy равен

a_y = 4 + 0 = 4.

Чтобы сумма векторов была равна нулю, необходимо, чтобы выполнялось условие

a₁ + a₂ = −a₃.

Вектор a₃ по модулю будет равен суммарному вектору a₁ + a₂, но направлен в противоположную ему сторону. Координата конца вектора a₃ равна {−7, −4}, а модуль

a₃ = √{7² + 4²} = 8,1.

б) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен 

a_x = 6 − 1 = 5,

а результирующий вектор вдоль оси Oy

a_y = 4 − 0 = 4.

При выполнении условия

a₁ − a₂ = −a₃,

вектор a₃ будет иметь координаты конца вектора a_x = –5 и a_y = −4, а модуль его равен

a₃ = √{5² + 4²} = 6,4.

6. Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток, 12 м на юг, а  затем в здании поднимается на лифте на высоту 36 м. Чему равны пройденный им путь L и перемещение S?

 Решение. Изобразим ситуацию, описанную в задаче на плоскости в произвольном масштабе (рис.). 

Конец вектора OA имеет координаты 25 м на восток, 18 м на север и 36 вверх (25; 18; 36). Путь, пройденный человеком равен

L = 30 м + 25 м + 12 м +36 м = 103 м.

Модуль вектора перемещения найдем по формуле

S = √{(x − x_o)² + (y − y_o)² + (z − z_o)²},

где x_o = 0, y_o = 0, z_o = 0.

S = √{25² + 18² + 36²} = 47,4 (м).

 Ответ: L = 103 м, S = 47,4 м.

7. Угол α между двумя векторами  a и b равен 60°. Определите длину вектора с = a + b и угол β между векторами a и c. Величины векторов равны a = 3,0 и b = 2,0.

 Решение. Длину вектора, равного сумме векторов  a и b определим воспользовавшись теоремой косинусов для параллелограмма (рис.).

с = √{a² + b² + 2abcosα}.

После подстановки

с = √{3² + 2² + 2•3•2•cos60°} = 4,4.

Для определения угла β воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

b/sinβ = a/sin(α − β).

При этом следует знать, что

sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.

Решая простое тригонометрическое уравнение, приходим к выражению 

tgβ = bsinα/(a + bcosα),

следовательно,

β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),

β = arctg(2•sin60/(3 + 2•cos60)) ≈ 23°.

Сделаем проверку, воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника: 

a² + c² − 2ac•cosβ = b²,

откуда

cosβ = (a² + c² − b²)/(2ac)

и

β = arccos((a² + c² − b²)/(2ac)) = arccos((3² + 4,4² − 2²)/(2•3•4,4)) = 23°.

 Ответ: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.

 Решите задачи. 8. Для векторов  a и b, определенных в примере 7, найдите длину вектора d = a − b угол γ между a и d.

9. Найдите проекцию вектора  a = 4,0i + 7,0j на прямую, направление которой составляет угол α = 30° с осью Ox. Вектор a и прямая лежат в плоскости xOy.

10. Вектор  a составляет угол α = 30° с прямой АВ, a = 3,0. Под каким углом β к прямой АВ нужно направить вектор b (b = √{3}), чтобы вектор с = a + b был параллелен АВ? Найдите длину вектора c.

11. Заданы три вектора:  a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. Найдите а) a + b; б) a + c; в) (a, b); г) (a, c)b − (a, b)c.

12. Угол между векторами  a и b равен α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Найдите длины векторов с = (a, b)a + b и d = 2b − a/2.

13. Докажите, что векторы  a и b перпендикулярны, если a = {2, 1, −5} и b = {5, −5, 1}.

14. Найдите угол α между векторами  a и b, если a = {1, 2, 3}, b = {3, 2, 1}.

15. Вектор  a составляет с осью Ox угол α = 30°, проекция этого вектора на ось Oy равна a_y = 2,0. Вектор b перпендикулярен вектору a и b = 3,0 (см. рис.).

Вектор с = a + b. Найдите: a) проекции вектора b на оси Ox и Oy; б) величину c и угол β между вектором c и осью Ox; в) (a, b); г) (a, c).

 Ответы: 9. a ₁ = a_xcosα + a_ysinα ≈ 7,0. 10. β = 300°; c = 3,5.  11. а) 5i + j; б) i + 3j − 2k; в) 15i − 18j + 9 k.  12. c = 2,6; d = 1,7.  14. α = 44,4°.  15. а) b _x = −1,5; b_y = 2,6; б) с = 5; β ≈ 67°; в) 0; г) 16,0.