В) Ранг матрицы

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа dim(im(A)) линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы A обозначается ( ) или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Определение

Пусть  — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

• ноль, если A — нулевая матрица;

• число , где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_{r + 1} — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка k равны нулю (M_k = 0). Тогда , если они существуют.

Связанные определения

• Ранг матрицы M размера называют полным, если .

• Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где .

  • Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Свойства

• Теорема (о базисном миноре): Пусть  — базисный минор матрицы A, тогда:

  1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

  2. любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

• Следствия:

• Если ранг матрицы равен r, то любые p:p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

• Если A — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

• Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.

• Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение A∼B для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если A∼B, то их ранги равны.

• Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

  • Количество главных переменных системы равно рангу системы.

  • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Линейное преобразование и ранг матрицы

Пусть A — матрица размера над полем C (или R). Пусть T — линейное преобразование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T(x) = Ax. Ранг матрицы A — это размерность области значений преобразования T.

Методы

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

• Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

• Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

I. Определитель матрицы первого порядка

Определителем матрицы первого порядка, или определителем первого порядка, называется элемент, называется элемент  а₁₁:

.

II. Определитель матрицы второго порядка

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

.

Например, пусть

.

III. Определитель матрицы третьего порядка

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение.

Замечание. Вычисление определителей четвертого и более высокого порядка приводит к большим вычислениям, так как

        для нахождения определителя первого порядка мы находим одно слагаемое, состоящее из одного сомножителя,

        для нахождения определителя второго порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двух слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения двух сомножителей,

        для нахождения определителя третьего порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из шести слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей,

        для нахождения определителя четвертого порядка нужно вычислить алгебраическую сумму из двадцати четырех слагаемых, где каждое слагаемое состоит из произведения четырех сомножителей и т.д.

Определить количество слагаемых в алгебраической сумме, можно вычислив факториал:

Вычисление определителя четвертого порядка приводит к большим вычислениям. Поэтому в этом случае используют искусственные методы, о которых мы остановимся позже.

А) Основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при её транспонировании:

Доказательство свойства 1 для квадратных матриц 2 и 3 порядков проводится по единой схеме. Приведём доказательство для квадратной матрицы 2-го порядка. Непосредственная проверка доказывает данное свойство.

Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её <#146#>определитель] равен нулю.

Свойство 2 непосредственно вытекает из определения определителя.

Свойство 3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

Свойство 5. Если каждый элемент i-й строки (столбца) матрицы A представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен , где элементы матриц B и C, за исключением элементов i-й строки (столбца), совпадают с соответствующими элементами матрицы A. A в i-х строках (столбцах) матриц B и C стоят упомянутые первые и вторые слагаемые соответственно.

Отметим некоторые следствия, непосредственно вытекающие из перечисленных 5 основных свойств определителя.

Следствие 1. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца) равен нулю.

Доказательство. Пусть A - квадратная матрица, имеющая две одинаковые строки (столбца). B - матрица полученная в результате перестановки указанных одинаковых строк (столбцов) матрицы A. Тогда, с одной стороны, , с другой стороны, в силу свойства 3, . Следовательно, . Из последнего равенства следует, что .

Следствие 2. Если какие-либо две строки (столбца) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

Следствие 3. Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца), умноженные на любое число , то определитель не изменится.