10 Схема повторных испытаний. Формула Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли (Пуассона, Муавра-Лапласа).

Теорема Пуассона.  При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона.

Если число испытаний n  и p  0 так, что np   ,  > 0, то

при любых k = 0, 1, 2, … .

Это означает, что при больших n и малых p вместо вычислений по точной формуле

можно воспользоваться приближенной формулой

.

На практике пуассоновским приближением пользуются при npq= np(1-p) < 9. Исследуем точность асимптотической формулы Пуассона на следующем примере.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если npq > 9, то для расчетов используют приближение Муавра-Лапласа

,

где 0 < p < 1 , величина ограничена при n  .

Требование ограниченности величины x_k означает, что при n  величина

k тоже должна расти вместе с величиной n. Точность формулы

растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения к 0.5 величин p и q.

Исследуем точность асимптотической формулы Муавра-Лапласа на следующем примере.

Теорема Бернулли. Если  - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью p успеха в одном испытании, то для любого  > 0 справедливо

.

Это означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов  /n приближается к вероятности p успеха в одном испытании.

Определим, сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, больше или равной , отклонение относительной частоты успехов  /n от вероятности p было меньше  . Т.е. найдем n, для которого выполняется неравенство

.

Доказано, что для числа n, которое обеспечивает выполнение этого неравенства, справедливо

,

где x_ - решение уравнения .

Следует обратить особое внимание на замечательный факт - искомое значение n не зависит от p!

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обозначим эти вероятности как p и q. Исход  с вероятностью p будем называть “успехом”, а исход с вероятностью q – “неудачей”.

Очевидно, что

Пространство элементарных событий для каждого испытания состоит из двух точек. Пространство элементарных событий для n испытаний Бернулли содержит  точек, каждая из которых представляет один возможный исход составного опыта. Поскольку испытания независимы, то вероятность последовательности событий равна произведению вероятностей соответствующих исходов. Например, вероятность последовательности событий

{У, У, Н, У, Н, Н, Н}

равна произведению 

.

Схема повторных испытаний или схема Бернулли

Под схемой Бернулли понимают конечную серию повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают , а непоявления (неудачи) его . Я. Бернулли установил, что вероятность ровно успехов в серии из повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:

То значение , при котором число является максимальным из множества { }, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию

np - q m np+ p,

Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из событий с вероятностью ( . Вероятность появления раз первого события и - второго и -го находится по формуле

При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:

Таблица значений функции имеется в приложении 3.

Математическая статистика