Выборки элементов с повторениями

В данных выборках допускается повторение элементов, что является достаточно естественным (например, в телефонных и автомобильных номерах возможно использование одной цифры несколько раз).

Число размещений из элементов по с повторениями обозначается и находится как

Число перестановок , в которых 1-й элемент повторяется раз, 2-й - раз, а -й - раз, находится следующим образом:

3 Случайные события и алгебра событий. Непосредственное вычисление вероятностей

Случа́йное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом . Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом Ω

Математически случайное событие — подмножество пространства элементарных исходов случайного эксперимента; элемент алгебры или сигма-алгебры событий , которая в свою очередь задаётся аксиоматически и вместе с пространством элементарных событий Ω и вероятностью образует вероятностное пространство .

Случайный эксперимент состоит в бросании игральной кости: пример случайного события — выпавшее число чётно; события «Выпала единица», «Выпала двойка» и т. д. — элементарные исходы эксперимента; совокупность всех событий «Выпала 1»..«Выпала 6» — полная группа событий.

Алгебра событий (в теории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

• алгебра конечных подмножеств ;

• сигма-алгебра счётных подмножеств ;

• алгебра подмножеств , образованная конечными объединениями интервалов;

• сигма-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства , то есть наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества ;

• алгебра цилиндров в пространстве функций и сигма-алгебра, ими порожденная.

Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности . Если , то событие называется невозможным событием; если , то событие называется достоверным событием;

Событие A + B или , заключается в том, что из двух событий A и B происходит по крайней мере одно, называется суммой событий A и B.

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

Непосредственное вычисление вероятностей. Эту хрень нет не ищет походу что-то практическое.