4. Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Графическое изображение статистического распределения.

Пусть изучается закон распределения случайной величины . Для решения задач математической статистики осуществляется серия из “n” независимых опытов, результат которых – “n” значений случайной величины :

Совокупность (1) называют выборочной совокупностью.

Множество всех возможных значений случайной величины называют генеральной совокупностью.

Основным понятием математической статистики является понятие выборки.

Def: выборкой объема “n” называют набор из “n” независимых случайных величин , каждая из которых имеет тот же закон распределения, что и случайная величина .

Таким образом, выборочную совокупность (1) можно рассматривать как значения  “n” – мерной случайной величины (2), то есть выборки.

Различные значения выборочной совокупности (1) называют вариантами.Варианты, записанные в порядке неубывания, называют статистическим, или вариационным рядом.Пусть варианта встречается раз в совокупности (1). Число называют кратностью или частотой варианта , а числа называют относительными частотами вариант .

Def: соответствие между вариантами и их кратностями или относительными частотами называется статистическим распределением выборки. Статистическое распределение выборки может быть записано в виде дискретного или интервального ряда.

Короче. Статистическое распределение записывается в виде таблицы: 1 строка – варианты; 2 строка – частоты.

n – объем выборки(частота).Иногда вместо частот используют относительную частоту:W_i = n_i / n ; ΣWi = 1 Разность между наибольшим и наименьшим элементами выборки называется размахом выборки, т.е. R = x_max-x_min

При большом объеме выборки ее элементы объединяются в группы. В процессе группированного ряда подсчитываются также накопленные частоты. ñ_i* - частота i-интервала равна сумме частот: ñ₃* = ñ₁+*ñ₂*+ñ₃*

Ŵi*- накопленная относительная частота.

Что-то по типу этого ток и х и n.

Эмпирическая функция распределения (выборочная функция распределения) — естественное приближение теоретической функции распределения данной случайной величины, построенное по выборке.

Пусть задана случайная выборка наблюдений Построим по выборке ступенчатую функцию , возрастающую скачками величины в точках Построенная функция называется эмпирической функцией распределения. Для задания значений в точках разрыва формально определим её так:

Замечание: при этом эмпирическая функция непрерывна справа.

На рисунке представлена функция стандартного нормального распределения и эмпирическая функция распределения, построенная по выборке из 10 случайных наблюдений из стандартного нормального закона.

ЧТО НИЖЕ НЕ УВЕРЕН ЧТО ВООБЩЕ НУЖНО!

Эмпирическое распределение для фиксированного

Поскольку случайная величина имеет распределение Бернулли с вероятностью успеха (где - теоретическая функция распределения случайной величины ), а последовательность - схема Бернулли с вероятностью успеха , то по отношению к этой последовательности есть частота попаданий левее x.

Из сказанного вытекает, что эмпирическое распределение служит естественным приближением к теоретической функции распределения.

Математическое ожидание и дисперсия эмпирического распределения

Математическое ожидание эмпирической функции распределения

• 

таким образом эмпирическое распределение является несмещённой оценкой теоретической функции распределения .

Дисперсия эмпирического распределения

• 

Асимптотические свойства эмпирической функции распределения

1. По усиленному закону больших чисел сходится почти наверное к теоретической функции распределения :

почти наверное при

2. Выборочная функция распределения является асимптотически нормальной оценкой функции распределения при условии, что :

при