II b Равномерный закон распределения.

Часто на практике мы имеем дело со случайными величинами, распределенными определенным типовым образом, то есть такими, закон распределения которых имеет некоторую стандартную форму. В прошлой лекции были рассмотрены примеры таких законов распределения для дискретных случайных величин (биномиальный и Пуассона). Для непрерывных случайных величин тоже существуют часто встречающиеся виды закона распределения, и в качестве первого из них рассмотрим равномерный закон.

Определение 5.2. Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.

Пример. Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2 минут.

5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Во многих задачах, связанных с нормально распределенными случайными величинами, приходится определять вероятность попадания случайной величины , подчиненной нормальному закону с параметрами , на участок от  до . Для вычисления этой вероятности воспользуемся общей формулой

,         (6.3.1)

где  - функция распределения величины .

Найдем функцию распределения  случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами . Плотность распределения величины  равна:

.              (6.3.2)

приведем его к виду:

Интеграл (6.3.4) не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения  или   (так называемый интеграл вероятностей), для которого составлены таблицы. Существует много разновидностей таких функций, например:

;

и т.д. Какой из этих функций пользоваться – вопрос вкуса. Мы выберем в качестве такой функции

.       (6.3.5)

Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой не что иное, как функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами .

Условимся называть функцию  нормальной функцией распределения. В приложении (табл. 1) приведены таблицы значений функции .

Выразим функцию распределения (6.3.3) величины  с параметрами  и  через нормальную функцию распределения . Очевидно,

.          (6.3.6)

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины  на участок от  до . Согласно формуле (6.3.1)

.        (6.3.7)

Таким образом, мы выразили вероятность попадания на участок случайной величины , распределенной по нормальному закону с любыми параметрами, через стандартную функцию распределения  , соответствующую простейшему нормальному закону с параметрами 0,1. Заметим, что аргументы функции  в формуле (6.3.7) имеют очень простой смысл:  есть расстояние от правого конца участка  до центра рассеивания, выраженное в средних квадратических отклонениях;  - такое же расстояние для левого конца участка, причем это расстояние считается положительным, если конец расположен справа от центра рассеивания, и отрицательным, если слева.

Как и всякая функция распределения, функция  обладает свойствами:

1. .

2. .

3.  - неубывающая функция.

Кроме того, из симметричности нормального распределения с параметрами  относительно начала координат следует, что

.            (6.3.8)

На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания . Рассмотрим такой участок длины  (рис. 6.3.1). Вычислим вероятность попадания на этот участок по формуле (6.3.7):

.        (6.3.9)

Учитывая свойство (6.3.8) функции  и придавая левой части формулы (6.3.9) более компактный вид, получим формулу для вероятности попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону на участок, симметричный относительно центра рассеивания:

.           (6.3.