Моделирование нормальных случайных величин
Простейшие, но неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения. Тем не менее, с увеличением слагаемых распределение суммы стремится к нормальному.
Использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.
Центральная предельная теорема
Нормальное распределение часто встречается в природе. Например, следующие случайные величины хорошо моделируются нормальным распределением:
отклонение при стрельбе
погрешности измерений
рост живых организмов
Такое широкое распространение закона связано с тем, что он является предельным законом, к которому приближаются многие другие (например, биномиальный).
Доказано, что сумма очень большого числа случайных величин, влияние каждой из которых близко к 0, имеет распределение, близкое к нормальному. Этот факт является содержанием центральной предельной теоремы.
Обозначение |
|
Параметры |
μ - коэффициент сдвига (вещественное число) σ > 0 - коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный) |
Носитель |
|
Плотность вероятности |
|
Функция распределения |
|
Математическое ожидание |
|
Медиана |
|
Мода |
|
Дисперсия |
|
Коэффициент асимметрии |
|
Коэффициент эксцесса |
|
Информационная энтропия |
|
Производящая функция моментов |
|
Характеристическая функция |
|
Обозначения просто так добавил, вдруг пригодится.
I b Законы равномерного распределений
В задачах практики встречаются непрерывные СВ, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала. Кроме того известно, что в пределах этого интервала все значения СВ обладают одной и той же плотностью вероятности. О таких случайных величинах говорят, что они распределяются по закону равной вероятностиили закону равномерной плотности. [5]
Приведем пример случайной величины, распределенной с равномерной вероятностью.
Поезда метрополитена идут с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Т,в течение которого ему придется ждать поезда, представляет собой СВ, распределенную с равномерной плотностью на участке (0, 2) минут.
Рассмотрим СВ X, подчиненную закону равномерной плотности на участке от а до в (см. рисунок 5.6). Плотность этой величины f (x) постоянна и равна с на отрезке (а, в); вне этого отрезка она равна нулю:
(5.29)
Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице: c (в-а)=1. Отсюда получаем:c=1/(в-а).
Поэтому плотность распределения f (x) примет вид:
(5.30)
Рисунок 5.6 — График равномерной плотности распределения
Эта формула и выражает закон равномерного распределения вероятностей (закон равномерной плотности) на участке (а, в).
Напишем выражение для функции распределения F (x), которая выражается площадью, ограниченной кривой распределения и осью абсциссы, лежащей левее точки х (рисунок 5.6):
(5.31)
График функции распределения F (x) приведен на рисунке 5.7.
Основные числовые характеристики СВ X на участке от а до в:
— математическое ожидание величины X:
Рисунок 5.7 — Функция распределения
— дисперсия величины X:
— среднее квадратическое отклонение:
Найдем вероятность попадания СВ X распределенной по закону равномерной плотности, на участок (х1, х2), представляющий собой часть участка (а, в) (рисунок 5.8).
Рисунок 5.8 — Вероятность попадания величины X на участок(х1, х2)
Геометрически, как это видно из рисунка 5.8, вероятность представляет собой заштрихованную площадь и равна:
