Содержание отчёта

1. Постановка задачи.

2. Результаты вычислений каждым из методов со сравнительными графиками.

3. Результаты оценки погрешности аппроксимации.

4. Выводы по работе.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать задачу аппроксимации МНК и получить её общее решение.

2. Получить решение задачи аппроксимации МНК для линейной зависимости.

3. Получить решение задачи аппроксимации МНК для гиперболы.

4. Получить решение задачи аппроксимации МНК для степенной функции.

5. Получить решение задачи аппроксимации МНК для показательной функции.

6. Получить решение задачи аппроксимации МНК для логарифмической функции.

7. Получить решение задачи аппроксимации МНК для дробно-линейной функции.

8. Получить решение задачи аппроксимации МНК для дробно-рациональной функции.

9. Получить решение задачи аппроксимации МНК в случае квадратичной зависимости.

14

Лабораторная работа № 5

ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Цель работы: изучение численных методов интегрирования функций.

Содержание работы

1. Изучение квадратурных формул:

• прямоугольников;

• трапеций;

• Симпсона;

• Чебышева;

• Гаусса.

2. Применение квадратурных формул для вычисления определённых интегралов.

3. Программная реализация вычислительного процесса.

Основные понятия

На практике в редких случаях удается точно вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона  Лейбница:

,

где - пределы интегрирования;

- подынтегральная функция;

- первообразная.

Объясняется это тем, что для большого количества функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции или являются слишком сложными. Кроме того, иногда подынтегральная функция задается таблично. Поэтому большое значение имеют приближенные методы вычисления определенных интегралов.

Постановка задачи

Необходимо вычислить определенный интеграл при условии:

1.  непрерывна на интервале ;

2. известны отдельные значения подынтегральной функции .

Формулы для вычисления определенных интегралов называются квадратурными. (Квадратура – количество квадратных единиц в площади данной фигуры.)

Идея построения формул

• На интервале интегрирования осуществляется полиномиальная аппроксимация , т.е. замена исходной функции интерполирующим (или аппроксимирующим) полиномом, который:

1. имеет более простой вид;

2. легко и точно интегрируется.

• Производится вычисление .

• Приближенно полагают .

Квадратурные формулы прямоугольников

Геометрическая интерпретация определенного интеграла (рис. 5.1)

представляет собой площадь криволинейной трапеции.

При построении квадратурных формул интервал интегрирования делится на равных частей (частичных интервалов ). Исходная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников.

Существуют различные принципы построения прямоугольников:

а) применение левых ординат (рис. 5.2, а);

б) применение правых ординат (рис. 5.2, б).

Если используются обозначения

 узлы (точки деления ), ( );

 шаг интегрирования, ;

 количество узлов;

 значения подынтегральной функции в узлах, ,

то выражения для приближенного вычисления определенного интеграла (площади ступенчатой фигуры) имеют вид:

а) квадратурная формула левых прямоугольников

б) квадратурная формула правых прямоугольников

Замечания.

1. Чем больше количество узлов , тем выше точность вычислений.

2. Для функции, монотонной на интервале интегрирования, точное значение интеграла находится между приближенными и .