У точненный метод Эйлера

Производная берётся не в начале, а в центре частичного интервала (рис. 6.4):

В данном случае

Подынтегральная функция заменяется значением в точке .

Тогда .

Формула применима для вычислений .

Способы определения :

1-й способ. С помощью обычного метода Эйлера.

2-й способ (более точный). Обычным методом определяется промежуточное значение в точке : .

По уточненной формуле определяется с шагом :

.

Дальнейшие вычисления – по уточненной формуле без коррекции.

Методы Рунге  Кутта

Существуют методы Рунге  Кутта различных порядков точности.

Построение методов

Общая формула одношагового метода

.

Ввод обозначения

.

Замена переменной интегрирования

, где .

.

Ввод вспомогательных функций

где и  определенные параметры.

При соответствующем выборе параметров можно составить линейную комбинацию, являющуюся аналогом квадратурной суммы:

.

Выбор параметров осуществляется в соответствии с требованием:

Разложение в ряд Тейлора и должны совпадать до слагаемых с определённой степенью .

Метод 1-го порядка точности (k=0)

;

:

;

;

;

.

или (см. формулу Эйлера)

Вывод: метод Эйлера является методом типа Рунге  Кутта.

Локальная погрешность метода ~ h².

Метод 4-го порядка точности (k=4)

Данный метод является наиболее распространенным на практике.

Выполняется последовательность операций:

Замечание.

Так как , то выражение для является аналогом квадратурной формулы Симпсона.

Локальная погрешность ~ .

Геометрическая интерпретация метода (рис. 6.5)

Каждый шаг расчёта – шаг по методу Эйлера.

1-й шаг: под углом из в ;

2-й шаг: ;

3-й шаг: h ;

В М₃ вычисляется направление .

Полученные тангенсы усредняются с весами 1/6, 2/6, 2/6, 1/6 и в этом направлении делается окончательный шаг из (x_i, y_i) в (x_i+1, y_i+1).

Достоинства метода:

1. высокая точность;

2. явный (т.е. y_i+1 вычисляется по ранее найденным значениям);

3. допускается расчёт с переменным шагом.

Недостаток: трудоёмкий.

Формулы более высокого порядка точности практически не употребляются, так как сложны.

Метод Адамса

Основой метода является параболическая экстраполяция (т.е. замена подынтегральной функции интерполяционным полиномом степени n ≥ 2).

Построение метода

Для дифференциального уравнения с начальным условием производится:

• выбор шага интегрирования h (0 < h < 1);

• ввод вспомогательной функции

[рассматривается только в узлах x_i (i = 0, 1, …, n)];

• эквивалентные преобразования дифференциального уравнения

,

• интерполяционный полином для где (Вторая интерполяционная формула Ньютона);

• замена переменной интегрирования

;

• замена интерполяционным полиномом

• вычисление интеграла , ,

где .

k_n – значения коэффициентов k при конечных разностях (табл. 6.2).

Таблица 6.2

k

В зависимости от порядка используемых конечных разностей существуют различные формулы метода Адамса.

• С разностями 1-го порядка (n 1), y₁  вычисляется любым другим методом. Локальная погрешность ~ h³.

• С разностями 2-го порядка (n 2), y₁, y₂ – вычисляются любым другим методом. Локальная погрешность ~ h⁴.

Таблица 6.3

x	y
x0	y0
x1	y1
x2	y2
x3	y3
x4	y4