Постановка задачи Необходимо:

1. Вычислить определенный интеграл , используя квадратурную формулу:

а) трапеций;

б) Симпсона;

в) Чебышева;

г) Гаусса.

2. Оценить погрешность квадратурной формулы.

Варианты заданий

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

Содержание отчета

1. Постановка задачи.

2. Численное решение.

3. Результаты вычислений.

4. Выводы по работе

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Получить квадратурные формулы прямоугольников;

2. Получить квадратурные формулу трапеций и оценить их погрешность;

3. Получить квадратурную формулу Симпсона и оценить её погрешность;

4. Получить квадратурную формулу Чебышева и оценить её погрешность;

5. Получить квадратурную формулу Гаусса и оценить её погрешность;

Лабораторная работа № 6

Ч

32

исленное решение обыкновенных

дифференциальных уравнений

Цель работы: изучение численных методов решения задачи Коши.

Содержание работы

1. Изучение методов:

• Эйлера;

• уточнённого метода Эйлера;

• Рунге-Кутта (4-го порядка точности);

• Адамса;

• Милна.

2. Применение численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка.

3. Программная реализация вычислительного процесса.

Основные понятия

Решение оду первого порядка

Обыкновенным называется дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной.

Задача с начальным условием (задача Коши)

Необходимо среди всех решений дифференциального уравнения найти такое , которое удовлетворяет начальному условию .

Геометрическая интерпретация задачи

Требуется найти такую функцию , график которой проходит через заданную точку (рис 6.1).

Аналитическое решение задачи

, где  произвольная постоянная.

В большинстве случаев определить первообразную для подынтегральной функции невозможно. Поэтому часто используют численные методы. Для их применения интервал , на котором ищется решение, делится на равных частей.

Эквивалентные преобразования дифференциального уравнения:

;

( ).

Вычисление можно осуществить различными методами (рис. 6.2).

И нтервал используемой информации

Т.е. для определения нового значения y_n+1 используется:

предыдущее значение (yn)

ряд предыдущих значений (y0, y1, …, yn)

Рис. 6.2

Метод Эйлера

Метод основан на линейной экстраполяции.

На частичном интервале интегральная кривая заменяется отрезком прямой, проходящей через точку с координатами и имеющей угловой коэффициент :

,

при .

На

при .

…

На

при .

Вместо дифференциального решается нелинейное разностное уравнение

, где .

Г еометрическая интерпретация метода (рис. 6.3)

Д остоинство метода: простота.

Недостатки: 1) низкий уровень точности;

2) аккумуляция (накопление) локальных погрешностей.

[Локальной называется погрешность на одном шаге].

Пример.

Необходимо решить методом Эйлера дифференциальное уравнение с начальным условием на интервале с шагом .

Решение представлено в табл. 6.1.

Таблица 6.1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1	0 0 0,04 0,112 0,2096 0,32768	0 0,2 0,36 0,488 0,5904 0,67232	0 0,04 0,072 0,0976 0,11808	Таблица заполняется построчно