Квадратурная формула Гаусса

В данном случае определяются и узлы , и коэффициенты .

Предварительная информация

Полиномы Лежандра

,

где  натуральный индекс,  полином n-й степени.

Так как  полином степени 2n,  уменьшает степень на n.

; ;

; ;

; …

Графики полиномов изображены на рис. 5.7.

Свойства полиномов:

1. ;

( );

2. свойство ортогональности

, где  любой полином степени ;

3) полином Лежандра имеет различных действительных корней на интервале .

Вывод формулы

Условие:

необходимо выбрать такие и , чтобы квадратурная формула была точной для всех полиномов до максимально возможной степени.

Так как формула содержит параметров:  и  , то максимальная степень полинома равна .

В данном случае система уравнений примет следующий вид:

Рассмотрим полиномы

, где ,

 полином Лежандра.

Степени полиномов f(t) не превышают .

.

Таблица 5.2

1	1	0	2
2	1 2	- 0,577 350 27 0,77 350 27	1 1
3	1 2 3	- 0,774 596 67 0 0,774 596 67	0,555 555 56 0,888 888 89 0,555 555 56
4	1 2 3 4	- 0,861 136 31 - 0,339 981 04 0,339 981 04 0,861 136 31	0,347 854 84 0,652 145 16 0,652 145 16 0,347 854 84
5	1 2 3 4 5	- 0,906 179 85 - 0,538 469 31 0 0,538 469 31 0,906 179 85	0,236 926 88 0,478 628 68 0,568 888 89 0,478 628 68 0,236 926 88
6	1 2 3 4 5 6	- 0,932 469 51 - 0,661 209 39 - 0,238 619 19 0,238 619 19 0,661 209 39 0,932 469 51	0,171 324 50 0,360 761 58 0,467 913 94 0,467 913 94 0,360 761 58 0,171 324 50
7	1 2 3 4 5 6 7	- 0,949 107 91 - 0,741 531 19 - 0,405 845 15 0 0,405 845 15 0,741 531 19 0,949 107 91	0,129 484 96 0,279 705 40 0,381 830 06 0,417 959 18 0,381 830 06 0,279 705 40 0,129 484 96
8	1 2 3 4 5 6 7 8	- 0,960 289 86 - 0,796 666 48 - 0,525 532 42 - 0,183 434 64 0,183 434 64 0,525 532 42 0,796 666 48 0,960 289 86	0,101 228 54 0,222 381 04 0,313 706 64 0,362 683 78 0,362 683 78 0,313 706 64 0,222 381 04 0,101 228 54

У

28

читывая свойство ортогональности полиномов Лежандра

.

Данное равенство будет выполняться при любых коэффициентах , если положить , т. е. взять нули (корни) соответствующего полинома Лежандра.

Подставив в подсистему, состоящую из первых уравнений системы, определяются .

Квадратурная формула Гаусса для интервала интегрирования :

, где

(  корни полинома Лежандра (см. табл. 5.2) ).