1.6. Относительный покой жидкости

Относительным покоем жидкости называется состояние, при котором она неподвижна относительно стенок заключающего ее и дви­жущегося с постоянным ускорением сосуда. При этом жидкость пере­мещается с сосудом как единое целое.

В случае относительного покоя на частицы жидкости массой dm действуют две массовые силы: сила тяжести d = gdm и сила инерции переносного движения ( — dm), где — ускорение переносного дви­жения.

При равномерном прямолинейном движении сосуда силы инерции переносного движения отсутствуют, и условия относительного равнове­сия совпадают с условиями равновесия жидкости в неподвижном сосуде.

1.6.1. Прямолинейное равноускоренное движение сосуда

При движении сосуда с постоянным ускорением в плоскости xoz под углом  к горизонту (рис. 1.4) вектор напряжения массовых сил одинаков для всех точек жидкости.

Рис. 1.4. Сосуд с жидкостью, движу­щийся вдоль наклонной плоскости вправо с постоянным ускорением а

Дифференциальное уравнение гидростатики Эйлера (1.28) в рас­сматриваемом случае принимает вид

dp =  (X dx + Y dy + Z dz) = —  acos  dx — (g+asin )dz.

(1.44)

Изобарические поверхности (поверхности уровня) — параллельные плоскости, наклоненные к горизонтали под углом  , для которого

(1.45)

Распределение давления в жидкости

p=p₀ +  a (x₀ – x) cos  +  (g + a sin )(z₀ – z) (1.46)

где x₀ , z₀ — координаты произвольной фиксированной точки свободной поверхности, определяемые объемом жидкости, находящейся в сосуде; Р₀ — абсолютное давление на свободной поверхности.

Распределение давления по вертикали при х = const (h — глубина точки под свободной поверхностью)

p = p₀ +  (g + a sin )h. (1.47)

При вертикальном движении сосуда (если  = 90° , то ускорение направлено вверх, если  = 270° — вниз)  = 0, и свободная поверхность горизонтальна. Распределение давления по вертикали в этом случае

p = p₀ +  (g  a)h. (1.48)

При горизонтальном движении сосуда ( = 0) тангенс угла наклона свободной поверхности к горизонту равен

(1.49)

и распределение давления по вертикали имеет вид

p=p₀ + gh , (1.50)

т.е. такое же, как в неподвижном сосуде.

1.6.2. Равномерное вращение сосуда вокруг вертикальной оси

В случае равномерного вращения цилиндрического сосуда вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 1.5) вектор напряже­ния массовых сил

(1.51)

а уравнение Эйлера (1.10) имеет вид

dp =  [² ( xdx +ydy ) – gdz] =  ( ² rdr – gdz). (1.52)

Уравнение свободной поверхности (р = р₀ )

(1.53)

Уравнение любой изобарической поверхности (р = const)

(1.54)

где z₀ - координата точки пересечения свободной поверхности с осью вращения.

Изобарические поверхности - параболоиды вращения, ось которых совпадает с осью оz , а вершины смещены вдоль этой оси. Форма изоба­рических поверхностей не зависит от плотности жидкости.

Высота параболоида свободной поверхности (R - радиус сосуда)

H =  ²R²/2g. (1.55)

Координата z₀ его вершины определяется объемом жидкости в сосу­де. Если начальный уровень в сосуде h₀ , то

z₀ = h - (1.56)

откуда h₁ = h₀ –z₀ = H/2.

Закон распределения давления в жидкости

(1.57)

Рис. 1.5. Цилиндрический сосуд с жидкостью, вращающийся с постоян­ной угловой скоростью 

Изменение давления по вертикали (h — глубина точки под свобод­ной поверхностью) :

Р = Р₀ +  gh,

т.е. такое же, как в неподвижном сосуде.

Вопросы по теме 1.6.

1 . Какие силы действуют на жидкость при ее относительном покое?

2. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описы­вающее их уравнение при прямолинейном движении сосуда с постоян­ным ускорением?

3. Каковы форма изобарических поверхностей в жидкости и описы­вающее их уравнение при вращении сосуда с постоянной угловой ско­ростью и вертикальной осью вращения?

3. Каков закон распределения давления в жидкости по вертикали при ее относительном покое?