VI. Треугольник и окружность

VI.1. Теоретическая карта № 6

VI.1.1. Окружность вписана в треугольник.

Рисунок 146.

(О,r) – окружность, вписанная в ∆АВС.

К, L, M – точки касания

NP – касательная к окружности.

1. О – точка пересечения биссектрис ∆АВС.

2. ВК=ВL, AK=AM, CM=CL.

3. BL=p-b, AM=p-a, CM=p-c, где

4. .

5. .

6. , где S – площадь ∆АВС,

Рисунок 147.

∆АВС: .

окружность (O, r) – вписана в ∆АВС.

7. .

8. .

VI.I.2. Окружность описана около треугольника

Рисунок 148.

(O, R) – окружность, описанная около ∆АВС

О – точка пересечения серединных

перпендикуляров к сторонам ∆АВС.

9. (теорема синусов).

10. , где S – площадь треугольника АВС.

Рисунок 149.

∆АВС: , (O, R) – окружность,

описанная около ∆АВС.

11. О .

12.

13.

VI.2. Доказательство утверждений теоретической карты №6

VI.1.1. Окружность вписана в треугольник

Доказательство утверждения (1) приводится в учебнике [4, с. 174] и в учебнике [9, с. 69]. Доказательство утверждения (2) приводится в учебнике [4, с. 160].

3.

Дано: ∆АВС, АВ=с, ВС=а, АС=в.

ω(О,r) – окружность, вписанная в ∆АВС,

К, L, М – точки касания.

Доказать: BL=p-b, AM=p-a, CM=p-c, где

Доказательство.

Так как АК=АМ, BL=BK, LC=MC, то Р_∆АВС =2АМ + 2МС + 2ВL.

, .

4.

Дано: ∆АВС, АВ=с, ВС=а, АС=в.

ω(О,r) – окружность, вписанная в ∆АВС,

Доказать: .

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВОL. Так как ОВ – биссектриса угла В, то = , тогда OL=BL∙ BL=p-b, следовательно,

. Аналогично .

5.

Дано: ∆АВС, ω(О,r) – окружность,

вписанная в ∆АВС.

NP – произвольная касательная,

Q – точка касания.

Доказать: Р_∆NBP=2BL.

Доказательство.

:

так как NQ=NK и QP=PL (отрезки касательных). Тогда Р_BNP=NB+NK+BP+PL=BK+BL=2BL.

6.

Дано: ∆АВС, АВ=с, ВС=а, АС=в.

ω(О,r) – окружность, вписанная в ∆АВС.

Доказать: , где S – площадь ∆АВС,

р – его полупериметр.

Доказательство.

, ,

7.

Дано: ∆АВС, ,

ω(0,r) - окружность, вписанная в ∆АВС.

Доказать: .

Доказательство.

РС – расстояние от вершины С треугольника АВС до точки касания Р. РС = r. Используя равенство (3), получаем .

8.

Дано: ∆АВС, ,

ω(0,r) – окружность, вписанная в ∆АВС.

Доказать: .

Доказательство.

Воспользуемся доказанными равенствами.

, . .

VI.I.2 Окружность описана около треугольника

9.

Дано: ∆АВС, ω(О,R) –окружность, описанная около

треугольника АВС.

Доказать: .

Дополнительное построение: проведём ВО,

А₁ – точка пересечения ВО с окружностью.

Доказательство.

1. ∆А₁ВС – прямоугольный, .

2. (как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

3. , .

4. Аналогично и .

Таким образом, .

10.

.

Утверждения (11), (12) фактически доказаны в теоретической карте № 5 «Медианы треугольника».

13.

Так как , то формулу (8) можно записать в виде .