IX. Трапеция и параллелограмм

IX.1. Теоретическая карта №9

IX.1.1. Трапеция

1. Рис. 227.

АВСD – трапеция, AD=a, BC=b, ,

тогда .

2. Рис. 228.

Трапеция ABCD: АВ=CD,

MN – средняя линия, тогда KD=MN.

3. Рис. 229.

Трапеция ABCD: АВ=CD,

Окружность вписана в трапецию,

AD=a, BC=b, BH=h,

тогда .

4. Рис. 230.

Трапеция ABCD: АВ=CD, АСBD,

A D=a, BC=b, KH=h,

тогда , S=h².

5. Рис. 231.

ABCD – четырёхугольник,

∆ABD и ∆ACD: ,

тогда BC||AD (ABCD – трапеция).

6. Рис. 232.

ABCD – трапеция,

АО – биссектриса

ВО – биссектриса ,

О – точка пересечения биссектрис,

MN – средняя линия,

тогда

IX.1.2. Параллелограмм

7. Рис. 233.

ABCD – параллелограмм,

АО – биссектриса

ВО – биссектриса ,

О – точка пересечения биссектрис,

MN – отрезок, соединяющий середины

M и N противоположных сторон,

тогда .

8. Рис. 234.

ABCD – параллелограмм,

АС, ВD – диагонали,

тогда .

IX.2. Доказательства утверждений теоретической карты № 9

1.

Дано: ABCD – трапеция, AD = a, BC=b.

MN||AD,

Доказать: .

Дополнительное построение.

Проведем BF||CD.

Доказательство.

1) ∆MBК∆ABF: , ,

2)

2.

Рис. 236.1

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, , AD=a, BC=b.

Доказать: KD = (средней линии).

Доказательство.

Первый способ (рисунок 236.1).

1) . 2) – длина средней линии.

Второй способ (рисунок 236.2).

Проведём среднюю линию MN. Соединим точки M и K.

1) ∆ВАК – прямоугольный, точка М – середина гипотенузы, следовательно,

АМ=МК, то есть ∆АМК – равнобедренный. Значит, , а , но тогда , из чего следует, что MK||ND.

2) MN||KD. Из (1) и (2) следует, что KMND – параллелограмм, то есть KD=MN.

3.

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, ,

окружность, вписанная в трапецию.

AD=a, BC=b, BК=h.

Доказать: .

Доказательство.

1) . 2) .

3) Из ∆ABК по теореме Пифагора получим: , тогда

,

4.

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция,

АС, BD – диагонали, .

AD=a, BC=b, MN=h

Доказать: (длина средней линии), .

Доказательство.

MN – ось симметрии данной трапеции.

1) Проведем окружность ₁(N, AN): ₁, AN=NO.

2) Проведем окружность ₂(M, BM): ,BM=MO.

3) Складывая равенства (1) и (2), получим: AN+BM=NO+MO,

, , .

5.

Дано: ∆ABD и ∆АСD.

.

Доказать: AD||BC.

Доказательство.

1) S_∆ABD= 0,5AD∙BM, S_∆ACD=0,5AD∙CK, следовательно, BM=CK. 2) BM||CK.

3) Из (1) и (2): ВСКМ – параллелограмм, следовательно, AD||BC.

6.

Дано: ABCD –трапеция,

АО, ВО – биссектрисы углов А и В.

Доказать: 6.1. .

6.2. Точка О принадлежит

средней линии трапеции.

Доказательство.

6.1. 1) , . 2) .

6 .2. K – точка пересечения BO и AD.

В ∆ABК: АО – биссектриса, АО – высота,

следовательно, ∆ABК – равнобедренный.

Значит, АО – медиана, точка О – середина ВК.

Проведем прямую l: Ol, l||AD, l пересечет

АВ и СD в точках M и N. По теореме Фалеса

MN – средняя линия ABCD.

7. Доказательство утверждения для параллелограмма аналогично доказательству для трапеции.

8.

Дано: ABCD – параллелограмм,

АС, BD – диагонали.

Доказать: AC² + BD²=2AB² + 2AD².

Доказательство.

1) ∆ABD: (теорема косинусов).

2) ∆ADC: (теорема косинусов).

3) , cosD = - cosA.

4) Равенство (2) примет вид

5) Сложим равенства (1) и (4), учитывая, что AB=DC, тогда получим .