III. Окружность

III.1. Теоретическая карта № 3

1. О кружность и углы

1. Вершина угла в центре окружности (центральный угол).

АLB.

2. Вершина угла принадлежит окружности, стороны пересекают окружность (вписанный угол).

.

Следствие: вписанный угол, опирающийся

на полуокружность, прямой.

1.3. Вершина угла вне окружности,

стороны пересекают окружность.

.

1.4. Вершина угла внутри окружности.

.

A

1.5. Вершина В принадлежит окружности,

ВА – касательная, ВС – хорда.

(È ВС заключена между АВ и ВС).

2. Окружность и пропорциональные отрезки

2.1. AB, CD – хорды,

О – точка их пересечения:

.

.

2.2. АВ – касательная, ВС – секущая:

.

2.3. Следствие:

.

III.2. Доказательства утверждений теоретической карты №3

Доказательства утверждений 1.1 и 1.2 приводятся в ученике [4, с.163 – с. 165], в учебнике [9, с. 182 – с. 184].

1.3 Дано: окружность, АВС, вершина В вне

окружности, стороны пересекают

окружность.

Доказать: .

Доказательство.

– внешний угол ∆АВС₁.

,

.

1.4 Дано: окружность, АВС, вершина В внутри

окружности, стороны пересекают

окружность.

Доказать: .

Доказательство.

– внешний угол ∆ АВС₁.

1 .5. Дано: окружность, АВС,

где АВ – касательная, ВС – хорда.

Доказать: АВС =

( заключена между сторонами угла).

Доказательство.

Проведем диаметр окружности BD.

Доказательство утверждения 2.1 приводится в учебнике [4, с.165–166], в учебнике [9, с. 284].

2.2 Д ано: окружность, ВА – касательная,

ВС– секущая, BD – внешняя

часть секущей.

Доказать: АВ² = ВС·BD.

Рис. 67

Доказательство

∆АВС~∆DBA по двум углам

( – общий, АСВ = BAD, так как каждый из них измеряется половиной дуги AD). Следовательно, ,

2.3 Дано: АК – касательная к окружности.

АВ, АС – секущие.

Доказать: .

Доказательство.

Рис. 68

, .

Из (1) и (2):