- •Предисловие
- •4 . Способы получения подобных треугольников
- •I.2. Доказательства утверждений теоретической карты №1
- •II. Пропорциональные отрезки
- •II.1. Теоретическая карта №2
- •II.2. Доказательства утверждений теоретической карты №2
- •II.3. Задачи к теоретической карте №2
- •III. Окружность
- •III.1. Теоретическая карта № 3
- •О кружность и углы
- •2. Окружность и пропорциональные отрезки
- •III.2. Доказательства утверждений теоретической карты №3
- •III.3. Задачи к теоретической карте № 3
- •IV. Биссектриссы углов треугольника
- •IV.1. Теоретическая карта № 4
- •IV.2. Доказательства утверждений теоретической карты №4
- •IV.3. Задачи к теоретической карте №4
- •V. Медианы треугольника
- •V.1. Теоретическая карта № 5
- •V.2. Доказательства утверждений теоретической карты № 5
- •V.3. Задачи к теоретической карте № 5
- •VI. Треугольник и окружность
- •VI.1. Теоретическая карта № 6
- •VI.1.1. Окружность вписана в треугольник.
- •VI.I.2. Окружность описана около треугольника
- •VI.2. Доказательство утверждений теоретической карты №6
- •VI.1.1. Окружность вписана в треугольник
- •VI.I.2 Окружность описана около треугольника
- •VI.3. Задачи к теоретической карте № 6
- •VII. Площадь треугольника
- •VII.1 Теоретическая карта № 7
- •VII.2. Доказательства утверждений теоретической карты № 7
- •VII.3. Задачи к теоретической карте №7
- •VIII. Четырехугольники
- •VIII.1. Теоретическая карта №8
- •VIII.1.1. Четырехугольники и площади
- •VIII.1.2. Четырехугольники и окружность
- •VIII.2. Доказательства утверждений теоретической карты № 8
- •VIII.3. Задачи к теоретической карте № 8
- •IX. Трапеция и параллелограмм
- •IX.1. Теоретическая карта №9
- •IX.1.1. Трапеция
- •IX.1.2. Параллелограмм
- •IX.2. Доказательства утверждений теоретической карты № 9
- •IX.3. Задачи к теоретической карте № 9
- •Х. Приложение
- •Список литературы
- •Содержание
- •3 94043, Г. Воронеж, ул. Ленина, 86.
IV. Биссектриссы углов треугольника
IV.1. Теоретическая карта № 4
Рисунок 91.
ВВ1 – биссектриса угла В в ∆АВС.
1. ABB1=B1BC.
2. BB1 – геометрическое место точек,
равноудаленных от сторон ABC.
3. .
4.
5. lb = .
Рисунок 92.
АА1, ВВ1 – биссектрисы углов А
и В треугольника АВС.
6. .
7. Три биссектрисы треугольника
пересекаются в одной точке О.
8. Точка О – центр окружности,
вписанной в треугольник АВС.
Рисунок 93.
9. ∆АВС, - внешний,
BD – биссектриса .
IV.2. Доказательства утверждений теоретической карты №4
1. Равенство углов следует из определения биссектрисы угла.
2. Доказательство характеристического свойства точек биссектрисы угла приводится в учебнике [4, c. 169].
3.
Дано: ∆АВС, ВВ1 – биссектриса угла АВС.
Доказать:
Доказательство.
Первый способ.
Дополнительное построение.
Проведем В1К || АВ.
1) (по определению биссектрисы угла),
(внутренние накрест лежащие), значит,
. Следовательно, ∆ВВ1К – равнобедренный: В1К=ВК.
2)
(1): по свойству пропорциональности отрезков.
(2): согласно пункту 1 доказательства.
(3): из подобия треугольников КВ1С и ВАС. Таким образом,
Второй способ.
Д ополнительные построения.
Проведём
Пусть
S∆КВС: 0,5а′∙h=0,5а∙h2.
S∆АВК: 0,5с′∙h=0,5с∙h1.
Так как h1=h2 (точка К принадлежит
биссектрисе угла В), то разделив одно
равенство на другое почленно,
получим
4.
Дано: ∆АВС, ВВ1 – биссектриса угла В.
Доказать:
Дополнительные построения.
Продолжим биссектрису BD до
пересечения с окружностью в точке К.
Проведем КС.
Доказательство.
Пусть DK = x.
1) ∆ADB∆KDC(по двум углам): , то есть , lBx=a′c′.
2) ∆ABD∆KBC (по двум углам): , , .
Из (1) и (2):
5.
Дано: ∆АВС, ВВ1 – биссектриса угла В.
Доказать: .
Доказательство.
:
,
, , .
6.
Дано: ∆АВС, ВВ1и АА1 – биссектрисы.
Доказать:
Доказательство.
∆AOB: .
7.8. Доказательство утверждений о том, что три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности, приводятся в учебнике [4, c. 169, 170] и в учебнике [9, с. 69].
9.
Дано: ∆АВС, – внешний,
ВD – биссектриса .
Доказать:
Дополнительное построение.
Проведем СЕ||BD.
Доказательство.
1) (по свойству пропорциональности отрезков).
2) (как соответственные),
(ВD - биссектриса ), следовательно,
(внутренние накрест лежащие), значит,
Следовательно, ∆ВЕС – равнобедренный: ВЕ=ВС.
3) Заменим в равенстве пункта (1) ВЕ на ВС. Получим .