II. Пропорциональные отрезки
II.1. Теоретическая карта №2
1. Пропорциональные отрезки на сторонах угла
ÐABC,
l1||l2||l3||
… :
Следствие:
если а = в = с, то а1 = в1 = с1
(теорема Фалеса).
Рис. 35
2. Пропорциональные отрезки на параллельных прямых
O
l1||l2,
ОА, ОВ, ОС,…,ОD – лучи
с
общим началом:
.
Рис. 36
3. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
∆ABC, ÐC=900,
CD
АВ,
ВС=а, АС=b, АВ=с, CD=hc, AD=b′, BD=а′.
1)
2)
3)
4)
.
II.2. Доказательства утверждений теоретической карты №2
1.
Дополнительные построения.
Проведем AA′ || MС1 и BB′ || MC1.
Дано:
,
АА1|| ВВ1|| CC1.
Доказать:
Рис. 38
Доказательство
1.
ВАА′=
СВВ′
и
=
А′ВА=
В′СВ
(как соответственные при параллельных
прямых).
2. ∆MAA1~∆ABA′~∆BCВ′
(по двум углам), следовательно,
.
3. A1AA′B1 и B1BB′C1 – параллелограммы: АА′= А1В1, ВВ′= В1С1.
4. Из (2) и (3):
.
2.
Дано: l || l1, ОА1, ОВ1, …, ОD1 – лучи с
общим началом, пересекающие
данные параллельные прямые.
Доказать:
Доказательство.
1. ∆OAB ~
∆OA1B1:
.
2. ∆OBC~∆OB1C1:
.
3. Из (1) и (2):
.
Аналогично,
.
3.
Д
ано:
∆АВС,
ВС=а, АС=в, АВ=с,
Рис. 39
Доказать: 1)
2)
3)
4)
.
Доказательство
1) ∆ACD~∆CBD
по двум углам (
=
90°
).
Тогда
,
.
2) ∆ADC~∆ACB (прямоугольные с общим острым углом А).
Тогда
,
.
3) ∆BCD~∆BAC (прямоугольные с общим острым углом В).
Тогда
,
.
4) Равенство следует из равенств (2) и (3).
II.3. Задачи к теоретической карте №2
№ 1.
1.
Дано: а || в.
Найти: х. |
В
Р
К
Дано: КР || DE. Найти: х.
3. |
|
4.
|
|
|
Рис. 41
№ 2. В параллелограмме ABCD точки К и F – середины сторон ВС и АD соответственно. Доказать, что отрезки АК и СF делят диагональ параллелограмма BD на три равные части.
П
лан
доказательства.
1. ВМ=МN.
2. MN=ND.
3. BM=MN=ND.
Используемые факты из теоретической
карты: 1.
№3. Высота CD треугольника АВС делит медиану BM в отношении 3:1, считая от вершины В. В каком отношении CD делит сторону АВ, считая от вершины А?
План решения.
Проведем MK|| DC.
1.
.
2. DK=AK.
3.
Ответ: 2:3.
Используемые факты из теоретической карты: 1.
№4. Длина основания АС треугольника АВС равна 3, а медиана AD равна 4. Высота BE делит медиану AD пополам. Найти площадь треугольника АВС.
П
лан
решения.
1. Дополнительное построение: DК || ВE.
2. AК. 3. DK. 4. ВЕ. 5. S∆ABC.
Ответ:
.
Используемые факты из теоретической карты: 1.
№5. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что MN||AC. Доказать, что площади треугольников ABM и CBN равны.
П
лан
доказательства.
.
.
4. AD·NC=AM·DC
5. ВС∙NC= AM∙АВ
6. S∆ABM = S∆CBN.
Используемые факты из теоретической карты: 1.
№6. Точки M и P – середины смежных сторон AD и DC параллелограмма ABCD. MC и PB пересекаются в точке K. Найти BK : KP.
П
лан
решения.
1. Дополнительные построения:
BS||CM, PS||BC.
2. NP=
3. SN=BC=AD.
Рис. 46 4. SN : NP.
5. BK : KP= SN : NP.
Ответ: 4:1.
Используемые факты из теоретической карты: 1.
№7. В треугольнике АВС стороны
АВ и ВС равны
и 6 соответственно. Точка D
лежит на стороне АС, угол DBC
равен 450, угол ABD
равен 600.
CM
– медиана, пересекающая BD
в точке O.
В каком отношении точка O
делит BD?
П
лан
решения.
1. Дополнительное построение: DP||СM.
2.
(используя теорему синусов для
треугольников BDC и ABD).
3.
4.
Ответ: 1:3.
Используемые факты из теоретической карты: 1.
№ 8. В треугольнике АВС АВ = АС = 75. ВС = 90. Вершины В и С соединены с серединой О высоты, проведённой из вершины А. ВО и СО пересекают стороны АС и АВ соответственно в точках В1 и С1. Найти площадь четырёхугольника ОС1АВ1.
План решения.
1. АК. 2. АО. 3. Провести КК1 || ВВ1.
4. АВ1=
5. С1В1 || ВС.
6. С1АВ1
ВАС,
7. С1В1. 8.
Ответ: 450.
Используемые факты из теоретической карты: 1.
№
9.
В первой печатной книге по геометрии
на русском языке «Приемы циркуля и
линейки (1708 и 1709 гг.)» дано следующее
построение: «Для разделения отрезка АВ
на пять равных частей строим на нем
равносторонний треугольник ASB,
от вершины S откладываем
на стороне AS, пять равных
отрезков произвольной длины: 5·n
= SC.
Через точку С проводим прямую, параллельную АВ и пересекающую SB в точке D. Затем на CD откладываем пять отрезков, равных n. Через полученные точки проводим лучи с началом в точке S. Доказать, что отрезок АВ разделится лучами на 5 равных частей.
Указание: равенство следует из утверждения 2 теоретической карты.
№ 10. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон, делит основания трапеции пополам.
П
лан
доказательства.
1.
2.
3. BM=MC, AN=ND.
Используемые факты из теоретической
карты: 1, 2.
№11. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найти площадь треугольника.
План решения.
1. AD.
2. CD.
3. S∆АВС.
Ответ: 150.
Рис. 51
Используемые факты из теоретической карты: 3.2; 3.1.
№12. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3. Найти углы треугольника.
План решения.
ÐСDВ = 900.
СD (в частях).
3.
,
4. В.
Ответ: 600, 300, 900.
Используемые факты из теоретической карты: 3.1.
№ 13. Определить площадь равнобедренной трапеции, у которой основания 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
План решения.
1. АР.
2. PD.
3. ВР.
4. SABCD.
Ответ: 216.
Используемые факты из теоретической карты: 3.1.
14. Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла ромба на его сторону, делит большую диагональ на отрезки, равные 3,5 и 12,5. Определить сторону и меньшую диагональ ромба.
План решения.
1. АС, АО, КО.
2. FP=PD.
3. AF : FP: PD.
4.Выразить АР через АD.
5. АD.
6.DО, ВD.
Используемые факты из теоретической карты: 1; 3.3.
№ 15. В прямоугольном треугольнике АВС (С=90) проведена медиана АА1, пересекающая высоту треугольника CD в точке М. Найти отношение
СМ: MD, если А=.
Дополнительное построение:
DD1|| AA1.
План решения.
1.
2.
3.
Ответ:
Используемые факты из теоретической карты: 1; 3.4.