Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

maket-Bondarenko.doc

Скачиваний:

Добавлен:

28.09.2019

Размер:

3.41 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

IX.3. Задачи к теоретической карте № 9

№1. Две окружности радиусов R=3 см и r=1 см касаются внешним образом. Найти расстояние от точки касания окружностей до их общей касательной.

П лан решения.

О₁АВО₂ – трапеция.
.
КС.

Ответ: 1,5 см.

Используемые факты из теоретической карты: 1.

№2. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 4 см и 12 см.

П лан решения.

1. ∆AOD~∆COB.

2. .

3. .

4. . Ответ: 6 см.

Используемые факты из теоретической карты: 1.

№3. Основания трапеции равны 1 см и 7 см. Найти длину отрезка, параллельного основаниям трапеции и делящего ее площадь на две равновеликие части.

Введём обозначения:

– длина высоты трапеции ,

– отрезок, делящий трапецию на две равновеликие части. Пусть длина =х.

План решения.

1. Выразить S_PBCQ через х и .

2. Выразить S_APQD через х и .

3. Составить уравнение S_PBCQ =S_APQD.

4. .

5. Выразить х через и .

6. Составить систему уравнений из (3) и (5) и решить её относительно . Ответ: 5 см.

Используемые факты из теоретической карты: 1.

№4. Диагональ равнобокой трапеции равна 10 см, а площадь равна 48 см². Найти высоту трапеции.

П лан решения.

1. Выразить высоту СН через АН.

2. Выразить площадь трапеции через АН и СН.

3. Из (1) и (2) составить систему уравнений.

4. Решить систему уравнений.

Ответ: 6 см или 8 см.

Используемые факты из теоретической карты: 2.

№5. Найти площадь равнобокой трапеции, если ее высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60⁰.

План решения.

Выразить AH через h.
S_ABCD.

Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 2.

№6. В окружность радиуса вписана трапеция, боковая сторона которой стягивает дугу в 90⁰. Найти площадь трапеции, если разность длин ее оснований равна 2а.

П лан решения.

Первый способ.

1. Выразить АВ через R. 2. АК.

3. ВК. 4. 5. KD. 6. S_ABCD.

Используемые факты из теоретической карты: 2.

Второй способ.

1. Выразить АВ через R. 2. АК. 3. ВК. 4.  . 5. S_ABCD.

Используемые факты из теоретической карты: 4.

Ответ: .

№7. В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15, средняя линия 16, а большее основание является диаметром окружности. Определить площадь трапеции.

П лан решения.

1. KD.

3. АК.

4. ВК.

5. S_ABCD_.

Ответ 192.

Используемые факты из теоретической карты: 2.

№8. В равнобокую трапецию вписана окружность и около нее описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно . Найти углы трапеции.

П усть ВН – высота трапеции, радиус окружности, описанной около данной трапеции (и около треугольника ABD) равен R, .

План решения.

1. AB=HD. 2. sin α=tg β. 3.

4. 5.

6. Найти sinα, решив систему уравнений 7. α. 8. .

Ответ: 45⁰, 135⁰.

Используемые факты из теоретической карты: 2.

№9. Около окружности радиуса r описана равнобокая трапеция, меньшее основание которой равно 2а. Найти диагональ трапеции.

План решения.

1. .

2. .

3. .

Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 3, 2.

№10. Около окружности радиуса 5 см описана равнобокая трапеция. Расстояние между точками касания боковых сторон равно 8 см. Найти площадь трапеции.

План решения.

Пусть . E, F – точки касания.

1.  .

2. MN=

3. Выразить MN через х и у.

Рис. 251

5. 6. Выразить EF через х и у.

7. Решить систему уравнений (3, 5). 8. S_ABCD_.

Ответ: 125 см².

Используемые факты из теоретической карты: 3, 1.

№11. Из точки пересечения диагоналей равнобокой трапеции на боковую сторону опущен перпендикуляр, который делит ее на отрезки длиной 3,2 см и 1,8 см, считая от нижнего основания. Найти площадь трапеции, если длина указанного перпендикуляра есть среднее геометрическое длин отрезков боковой стороны.

План решения.

1.  . 2. 3. 4.

5. 6. . 7.

Ответ: 24,5 см².

Используемые факты из теоретической карты: 4.

№12. В равнобедренном треугольнике . Через середину стороны проходит прямая, которая пересекает в точке и продолжение в точке . Площади треугольников и равны. Найти длину отрезка .

План решения.

1.  ( – трапеция).

2. 3. 4. 5. DF.

6. - медианы . 7. .

Ответ: .

Используемые факты из теоретической карты: 5.

№13. Доказать, что если два треугольника, получающиеся при продолжении сторон выпуклого четырехугольника до их пересечения, равновелики, то одна из диагоналей четырехугольника делит другую пополам.

План доказательства.

1. AC||MN.

2. Далее реализуется план доказательства

задачи № 9 из раздела II «Пропорциональные

отрезки».

Используемые факты из теоретической карты: 5.

№14. Центр круга вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на 1см и 2 см. Найти площадь трапеции.

П лан решения.

1. . 2. . 3.

4. 5. . 6.

Ответ: 3,6 см².

Используемые факты из теоретической карты: 6.

№15. В трапецию вписана окружность радиуса 6. Точка касания делит одно из оснований на отрезки 9 и 12. Найти стороны трапеции.

П лан решения.

1. - точка пересечения биссектрис.

2. .

3. . 4. МВ. 5. АВ.

6. PD. 7. СР. 8. CD

9. BN. 10. NC. 11.ВС.

Ответ: 7, 15, 21, 13.

Используемые факты из теоретической карты: 6.

№16. Около окружности описана трапеция (AD||BC). Расстояние от центра окружности до вершин и равны соответственно и . Определить и высоту трапеции.

План решения.

1. – точка пересечения биссектрис .

2. . 3. АВ. 4.

5. . 6. . 7.

Ответ: ; .

Используемые факты из теоретической карты: 6.

№17. В параллелограмме со сторонами и проведены биссектрисы внутренних углов. Определить вид четырехугольника, образовавшегося при пересечении биссектрис и найти длины его диагоналей.

План решения.

1. – прямоугольник.

2. .

3. .

Используемые факты из теоретической

карты: 7.

№18. Внутри параллелограмма АВСD с острым углом А и стороной AD=7,7 расположена окружность, радиус которой равен 2,4, так, что она касается сторон AD AB и ВС. Точка касания делит АВ в отношении 16: 9, считая от вершины А. Найти периметр параллелограмма.

План решения.

1.  АОВ: АОВ=90.

2. АК, КВ, АВ.

3.Р_ABCD.

Ответ: 25,4.

Используемые факты из теоретической карты: 7.

№19. Дан параллелограмм с острым углом . На стороне взята точка так, что – биссектриса угла . – биссектриса угла . Найти отношение периметра параллелограмма к радиусу окружности, описанной около треугольника .

План решения.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. 6. .

7. . Ответ: 6. Используемые факты из теоретической карты: 7.

№20. Даны две концентрические окружности. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.

Пусть О – общий центр данных окружностей,

Х – произвольная точка одной окружности,

ХР – её диаметр,

АВ – произвольный диаметр другой окружности.

План доказательства.

1. – параллелограмм.

2. , где – радиусы окружностей.

3. Вывод.

Используемые факты из теоретической карты: 8.

№21. Доказать, что во всяком четырехугольнике сумма квадратов диагоналей вдвое больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

M , N, H, Q – середины сторон четырехугольника ABCD.

План доказательства.

1. – параллелограмм.

2. Выразить через стороны параллелограмма .

3. Выразить стороны параллелограмма через диагонали четырехугольника .

Используемые факты из теоретической карты: 8.

№22. В треугольник вписан параллелограмм так, что одна его сторона лежит на основании треугольника, а диагонали параллельны его боковым сторонам. Основание треугольника равно 45 см, а боковые стороны 39 см и 48 см. Найти стороны параллелограмма.

План решения.