- •Раздел 10. Кратные интегралы. §. Начальные понятия и определения
- •§. Определение кратного интеграла
- •§. Свойства кратных интегралов.
- •§. Замена переменных в кратных интегралах.
- •§. Криволинейные интегралы 1го рода.
- •§. Криволинейные интегралы 2го рода.
- •§. Условия независимости криволинейного интеграла 2го рода от пути интегрирования.
- •Если u(X, y, z) такая, что ,
- •§. Задача о нахождении площади поверхности.
- •§ . Поверхностные интегралы 2 рода.
- •§. Скалярные поля.
- •§. Векторные поля.
- •§. Теорема Гаусса-Остроградского.
- •§. Теорема Стокса.
- •§. Задача о движении твердого тела.
- •§. Оператор гамильтона – оператор «набла»
Раздел 10. Кратные интегралы. §. Начальные понятия и определения
Def. Пусть , , .
Множество называется замкнутым промежутком или замкнутым брусом в .
Множество называется открытым промежутком
или открытым брусом в .
Def. Мерой промежутков и называется величина:
( Точнее ).
Def. Если такое, что то промежуток называется вырожденным и .
Свойства меры промежутка:
а). Положительность: , причем тогда и только тогда, когда – вырожден.
б). Положительная однородность: .
в). Аддитивность:
* для таких, что ;
* для и .
г). Монотонность меры: .
Def. Диаметром бруса (промежутка) называется величина:
Отметим, что и – это не одно и тоже. Например, если – вырожден, то , a (вообще говоря).
При этом: * ;
* ; * .
Def. Совокупность подпромежутков промежутка называется разбиением промежутка , если: * ;
* ; * ; * ; * .
Величина называется параметром разбиения P (при этом ).
Def. Разбиение называется измельчением разбиения , если все элементы разбиения получены разбиением элементов разбиения .
Обозначается: . Читается: мельче или крупнее .
Для отношения “ крупнее – мельче” справедливо:
*. транзитивность – ; *. ;
*. ; *. | .
§. Определение кратного интеграла
Пусть – брус (промежуток) в , – разбиение промежутка I. На каждом из промежутков разбиения отметим точку .
Получим разбиение с отмеченными точками для .
Величина называется интегральной суммой Римана для функции f (x) на промежутке I по разбиению с отмеченными точками .
Def: = = .
Обозначая – множество функций интегрируемых на брусе I запишем:
Def: ε > 0 δ > 0 < .
Если для функции f (x) на I и разбиения – обозначить через – наибольшее и наименьшее значение функции f (x) на Ik то величины = и = называются нижней и верхней суммами Дарбу.
§. Критерий Дарбу существования кратного интеграла.
Т0. Чтобы функция была интегрируема на брусе (т.е. ) необходимо и достаточно, чтобы . Δ▲.
Определено интегрирование функции по брусу в евклидовом пространстве. А как функцию проинтегрировать по произвольному ограниченному множеству из евклидового пространства?
Определим интеграл от функции f по множеству .
Def: Пусть и – ограничено, т.е. . Функцию назовём характеристической функцией множества M .
Тогда: ≡ .
Определение интеграла по множеству не зависит от того, какой брус, содержащий М выбран, т.е. .
Это обозначает, что определение интеграла по множеству корректно.
Необходимое условие интегрируемости. Чтобы функция f (x) на М была интегрируемой необходимо, чтобы f (x) была ограниченной на М. Δ▲.