§. Теорема Гаусса-Остроградского.
П
области
заданы функции
непрерывные на
вместе со своими производными
.
Тогда:
.
При
этом, поверхность
ориентирована наружу области
.
∆.
а) Рассмотрим
:
.
Здесь
учтено, что
т.к.
.
Получено, что
.
б) и в) получаются аналогично:
,
.
Складывая три полученные формулы, получим формулу Гаусса-Остроградского. ▲
Def:
Величина
для векторного поля
называется дивергенцией векторного
поля:
,
и
теперь формулу Гаусса-Остроградского
можно записать так:
.
*.
Рассмотрим в
точку
и
– сферу радиуса
с центром в точке
.
Найдем:
.
(Здесь, по ходу преобразований была применена теорема о среднем).
Следовательно:
,
т.е.
дивергенция векторного поля
есть мощность источника силовых линий
поля
,
расположенного в точке
.
Это, инвариантное относительно системы
координат, определение дивергенции.
И теорема Гаусса-Остроградского может быть сформулирована так, что будет ясен ее физический смысл:
Поток векторного поля через замкнутую поверхность равен суммарной мощности источников векторного поля расположенных внутри области.
Дивергенция – еще одна, скалярная, характеристика векторного поля.
§. Теорема Стокса.
Пусть
в
заданы функции
,
непрерывные вместе со своими первыми
производными
Пусть
замкнутый контур в
,
а
–поверхность в
натянутая на контур
,
причем
одинаково взаимно ориентированы. Тогда:
=
=
=
.
∆.
Интеграл
по замкнутому контуру называется
циркуляцией векторного поля.
а).
Пусть
.
б), в) Аналогично:
,
.
Суммируя полученные три формулы, получаем формулу Стокса. ▲.
D
называется ротором векторного поля
.
,
и
тогда формула Стокса запишется так:
.
Рассмотрим
,
и
,
найдем:
следовательно:
Получили
инвариантное относительно системы
координат определение
:
Проекция ротора векторного поля на вектор нормали к поверхности определяется пределом отношения циркуляции вдоль замкнутого контура к мере поверхности ограниченной данным контуром, когда контур стягивается в точку. И теорема Стокса:
Циркуляция векторного поля вдоль контура есть сумма циркуляций поля в точках расположенных на поверхности , краем которой является контур .
§. Задача о движении твердого тела.
Пусть
твердое тело движется по закону:
,
где
.
Запишем
,
и тогда:
,
,
.
П
т.е.
.
Этот пример объясняет термин «ротор
поля» или «вихрь поля» или «вращение
поля».
Примеры:
1.
.
2.
.
3.
4.
Вычислить
по внешней стороне конуса
с крышкой
.
Применяя формулу Гаусса – Остроградского, получаем:
