- •Раздел 10. Кратные интегралы. §. Начальные понятия и определения
- •§. Определение кратного интеграла
- •§. Свойства кратных интегралов.
- •§. Замена переменных в кратных интегралах.
- •§. Криволинейные интегралы 1го рода.
- •§. Криволинейные интегралы 2го рода.
- •§. Условия независимости криволинейного интеграла 2го рода от пути интегрирования.
- •Если u(X, y, z) такая, что ,
- •§. Задача о нахождении площади поверхности.
- •§ . Поверхностные интегралы 2 рода.
- •§. Скалярные поля.
- •§. Векторные поля.
- •§. Теорема Гаусса-Остроградского.
- •§. Теорема Стокса.
- •§. Задача о движении твердого тела.
- •§. Оператор гамильтона – оператор «набла»
§ . Поверхностные интегралы 2 рода.
Пусть в Е3 задана поверхность : ;
, и на поверхности S задана вектор-функция
и, при этом .
Рассмотрим: .
Если такой предел существует и конечен, то он называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается .
Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода – поток векторного поля через поверхность S в направлении нормали, определяемой вектором , т.е. стороной поверхности. Собственно говоря, это и есть определение потока векторного поля через поверхность.
Свойства поверхностного интеграла 2-го рода:
1. Интеграл меняет знак при изменении стороны поверхности, по которой идет интегрирование: .
2. Связь с поверхностным интегралом 1 рода.
.
Здесь единичный вектор нормали к поверхности; – направляющие косинусы нормали к поверхности; , , ;
.
3. Если помнить о том, что: ,
, , легко написать формулу для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода
.
Примеры вычисления поверхностных интегралов 2 рода.
1. Вычислить , где S – внешняя сторона сферы =
Вектор нормали был найден в предыдущем параграфе, в примере 3.
.
Знак в выражении для берем так, чтобы в 1 октанте координаты вектора были положительными (внешняя сторона).
.
Вектор .
Тогда: =
= . ▲
2. Вычислить , если S- внешняя сторона конуса
с крышкой z = 1.
а). Для вычисления первого из них, отметим что и, следовательно:
.
б). Для вычисления второго из них, вспомним что для поверхности, заданной явно: . Знак выбран так, чтобы получить внешнюю нормаль к поверхности. Получаем:
.
Таким образом .
§. Скалярные поля.
П
Пусть задан вектор с известными направляющими косинусами .
Производной скалярного поля по направлению называется величина:
.
Запишем параметрическое уравнение прямой :
;
Тогда на этой прямой:
и тогда:
.
Вводя вектор получим: .
Из делаем вывод, что вектор указывает направление максимального роста поля и по величине равен скорости роста поля в этом направлении.
Такое определение является инвариантным относительно системы координат.
Если для векторного поля существует скалярное поле такое, что то поле называется потенциальным полем а скалярное поле называется его потенциалом.
Необходимое и достаточное условие потенциальности поля :
.
§. Векторные поля.
Пусть задана область в евклидовом пространстве , и в задана векторная функция . Тогда, говорят что в задано векторное поле.
Def: Линии в пространстве в каждой точке которых векторное поле направлено по касательной к данной линии называется векторными линиями поля (силовыми линиями, линиями тока).
Векторные линии можно найти исходя из системы дифференциальных уравнений векторных линий: , например для : – прямые, проходящие через начало координат.