§. Криволинейные интегралы 2го рода.

Def : Пусть в Е₃ задана вектор-функция , и при этом x(t), y(t), z(t) C_[a,b], C¹_[a,b] , т.е. в Е₃ задана гладкая кривая L.

Пусть на кривой L задана векторная функция:

.

Рассмотрим промежуток [a,b] изменения параметра t , и на [a,b] зададим разбиение P с отмеченными точками ξ, т.е. зададим (P,ξ). Разбиение (Р,ξ) отрезка [a,b] индуцирует разбиение кривой L с отмеченными точками. И рассмотрим:

.

Если такой предел существует, то он называется криволинейным интегралом 2^го рода и обозначается: .

Геометрический смысл криволинейного интеграла 2^го рода – работа силового поля вдоль кривой L.

1⁰. Если , и при этом x(t), y(t), z(t) C_[a,b], C¹_[a,b] ,

=

= .

Эта формула дает способ вычисления криволинейного интеграла 2^го рода сведением к интегралу Римана, и следует из определения, в котором в левой части фактически записана интегральная сумма для интеграла стоящего в правой части.

2⁰. Формула для вычисления криволинейного интеграла 2^-го рода:

.

Здесь – единичный вектор касательной к кривой, а – его направляющие косинусы.

3⁰. .

4⁰. Формула Грина. Пусть G – плоская область и γ – кусочногладкий контур, являющийся границей области G. Пусть в заданы P(x,y) и Q(x,y), непрерывные в G вместе с и . Тогда: .

З

амечание: γ⁺ - означает, что контур γ проходится в положительном направлении – т.е. против часовой стрелки (при обходе контура левая рука все время находится в области.

Δ. Рассмотрим:

= .

Здесь учтено, что интегралы и равны нулю из-за того, что на промежутках BC и DA .

Таким образом: = . Аналогично: = .

После сложения двух полученных формул, получаем доказываемую формулу. ▲

Примеры :

1⁰. Вычислить , если кривая L соединяет точки от (0,0) до (1,1).

a. y = x ; б. y = x²; в. x = y² .

а). J = .

б). J = .

в). J = .

Выясняется, что интегралы получаются разные, т.е. значение интеграла зависит не только от начальной и конечной точек кривой, но и от самой кривой L.

2⁰. Вычислить вдоль тех же кривых, что и в предыдущей задаче.

a) J = . б) J = .

в) J = .

а в данной задаче на всех трех исследованных путях результат один и тот же. Это не означает, что и на других путях так будет, но…

г) Рассмотрим J = .

Проведенная выкладка показывает, что интеграл действительно не зависит от пути интегрирования (здесь нет никакого конкретного пути), а зависит только от начальной и конечной точки дуги.

Когда же будет наблюдаться такое явление?

§. Условия независимости криволинейного интеграла 2го рода от пути интегрирования.

Т⁰. Пусть функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) определены и непрерывны в

области G , лежащей на гладкой поверхности S, и γ – граница области G.

Тогда эквивалентны следующие условия:

A^*). Для любого замкнутого контура γ в G ;

B^*). Для любых A,B є G не зависит от кривой, соединяющей

точки A и B, и лежащей в области G;

С^*). Выражение Pdx + Qdy + Rdz в G является полным дифференциалом

некоторой функции U(x, y, z), т.е. U = U(x, y, z) такая,что dU = Pdx+Qdy+Rdz;

D^*). Для функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) в области G выполняются условия:

; ; .

При этом : (*)

Последнюю формулу можно назвать формулой Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов.

Замечание 1. (связь А^* и В^*). не зависит от кривой L, соединяющей точки А и В.

Замечание 2. (связь С^* и D^*).