§. Свойства кратных интегралов.
1. Линейность: Множество RM функций интегрируемых на множестве М –линейное
пространство,
а
–
линейный функционал.
.
2.
Условие нормировки:
.
Другая форма записи
по сути дела определяет меру произвольного
множества из евклидового пространства.
3. Если интеграл по множеству Лебеговой меры ноль существует, то он
равен нулю.
Примечание: Множество М называется множеством Лебеговой меры ноль,
если
такие, что
и
.
4.
а.
;
б.
;
в.
если
и
–
отделена от нуля на М, то
5.
и f = g
п.в. (почти всюду) на М, то
.
6.
Аддитивность: Если
и
то
,
В
общем случае:
.
Δ.
Следует из равенства:
▲
7.
Монотонность:
и
то
.
8.
Интегрирование неравенств: если
и
то
.
9.
Пусть
.
Для того чтобы
,
необходимо и достаточно чтобы
существовала внутренняя точка множества
М, в которой f
(x) > 0 и непрерывна.
10.
Интегрируемость модуля интегрируемой
функции:
.
11.
Теорема о среднем:
,
на М сохраняет знак и
,
то
.
Если
множество М – связно и f
(x) – непрерывна на
то
такое, что
.
12. Для того чтобы интеграл от неотрицательной функции был равен 0
необходимо и достаточно, чтобы f (x) = 0 почти всюду на М.
13. Теорема Фубини. Для двойного интеграла:
Пусть
область
– прямоугольник:
.
Тогда, при условии существования
внутренних однократных интегралов, для
нахождения двойного интеграла можно
перейти к повторному интегрированию
(см. рис. а):
,
или
.
Е
.
(*)
Примечание: Внешние пределы интегрирования должны быть константами, внутренние пределы интегрирования могут зависеть от переменной, по которой интегрирование ещё предстоит.
Формула (*) может быть получена с использованием характеристической функции множества D.
Для многократного интеграла:
Пусть
и
некоторые подмножества евклидовых
пространств
и
.
Определим декартово произведение этих
множеств, являющееся подмножеством
евклидового пространства
:
.
Тогда
теорема Фубини для
имеет вид:
.
Теорема справедлива и для брусов X и Y, и для более сложных конфигураций.
Примеры:
10.
Вычислить
,
если граница области
задана уравнениями:
.
Находя точки пересечения кривых
определяющих границу области, получаем
две точки :
и
.
Тогда возможная расстановка пределов
интегрирования при переходе к повторным
интегралам дает:
а).
;
б).
.
2
.
–
.
Рецепт: При расстановке пределов интегрирования в двойном интеграле рекомендуется начинать с внешних пределов интегрирования .
3
,
если
Переход к повторным
интегралам даёт:
.
При этом, в тройном интеграле расстановку пределов надо начинать с внутренних пределов интегрирования. Затем спроецировать область V на плоскость xOy
расставив пределы в области D – лежащей в плоскости xOy.
40.
Изменить порядок интегрирования в
повторном интеграле:
.
а).
;
б).
.