- •Раздел 10. Кратные интегралы. §. Начальные понятия и определения
- •§. Определение кратного интеграла
- •§. Свойства кратных интегралов.
- •§. Замена переменных в кратных интегралах.
- •§. Криволинейные интегралы 1го рода.
- •§. Криволинейные интегралы 2го рода.
- •§. Условия независимости криволинейного интеграла 2го рода от пути интегрирования.
- •Если u(X, y, z) такая, что ,
- •§. Задача о нахождении площади поверхности.
- •§ . Поверхностные интегралы 2 рода.
- •§. Скалярные поля.
- •§. Векторные поля.
- •§. Теорема Гаусса-Остроградского.
- •§. Теорема Стокса.
- •§. Задача о движении твердого тела.
- •§. Оператор гамильтона – оператор «набла»
§. Замена переменных в кратных интегралах.
10. В одинарном интеграле: .
20. В двойном интеграле:
.
30. В тройном интеграле: =
= .
40. В кратном интеграле: если , , и , то
.
Примеры:
10. Вычислить двойной интеграл: .
Область интегрирования – круг единичного радиуса с центром в начале координат.
a). В декартовой системе координат: .
Недостатки: пределы интегрирования не красивые и, кроме того, интеграл не выражается через элементарные функции.
б). В полярной системе координат:
.
При переходе в полярную систему координат не только получился повторный интеграл с удобными пределами интегрирования, но, с учетом того, что внутренний интеграл не зависит от получилось даже произведение двух интегралов Римана.
20. Вычислить , если область D – замкнутая часть плоскости ограниченная кривыми: {y = 2x; y = 4x; xy = 1; xy = 3}.
a
расставлять очень не удобно. Поэтому сделаем по другому.
б). Сделаем замену переменных: u = xy, v = ; 1 ≤ u ≤ 3, 2 ≤ v ≤ 4.
Для выполнения замены переменных необходимо найти якобиан . Однако находить его неудобно. Поэтому воспользуемся соотношением: . Тогда . Якобиан положителен, следовательно, ориентация двух систем координат совпадает. И далее:
=…
30. Вычислить интеграл .
I = . Для нахождения полученного двойного интеграла перейдем в полярную систему координат.
= .
Тогда: . Пример показывает что не только двойной интеграл вычисляется с помощью перехода к повторным, но и наоборот.
§. Криволинейные интегралы 1го рода.
Def : Если в Е3 задана вектор-функция , и при этом x(t), y(t), z(t) C[a,b], C1[a,b] , то говорят, что в Е3 задана гладкая кривая L.
Пусть на кривой L задана скалярная функция f (x,y,z).
З
Рассмотрим промежуток [a,b] изменения параметра t , и на [a,b] зададим разбиение P с отмеченными точками ξ, т.е. зададим (P,ξ).
Разбиение (Р,ξ) отрезка [a,b] индуцирует разбиение кривой L с отмеченными точками.
Рассмотрим: , где – длина хорды, соединяющей концы соответствующего участка кривой. Если такой предел существует и конечен, то он называется криволинейным интегралом 1го рода , и обозначается .
Физический смысл криволинейного интеграла 1го рода – масса кривой L с линейной плотностью масс f (x, y, z).
Для нахождения элемента длины дуги будут полезны следующие формулы:
10. Для плоской кривой, заданной в декартовых координатах:
dl = (по теореме Пифагора, см. рис. а).
В частных случаях различных способов задания кривой L получаем:
1а. Если y = y(x), то dl = ;
1б. Если x = x(y), то dl = ;
1в. Если x = x(t), y = y(t), то dl = ;
20. Для плоской кривой, заданной в полярных координатах x = ρcosφ, y = ρsinφ:
dl = . Формула эта может быть получена и непосредственно из криволинейного треугольника (см. рис. б).
2а. Если , то dl = ;
2б. Если , то dl = ;
2в. Если , то dl = ;
30. Для пространственной кривой, заданной в декартовых координатах:
dl = .
3а. Если , то dl = ;
40. Если f (x, y, z) = 1 то криволинейный интеграл 1го рода численно равен длине кривой и кривая называется спрямляемой.
50. Криволинейный интеграл 1го рода может быть сведен к обычному интегралу Римана. Пусть . Тогда
. При этом .
Формула следует из определения.
40. Криволинейный интеграл 1го рода не зависит от направления интегрирования:
.
Примеры:
10. Вычислить: J= , где кривая L: .
Параметрическое уравнение эллипса:
dl = .
Эллипс пробегается против часовой стрелки, хотя это указывать не обязательно.
И тогда:
J = = =
= .
20. Найти массу кривой L : y = ln x для , если ρ = x2 линейная плотность кривой .
M = =
= = .
30. Найти силу притяжения точки А массы m однородной полуокружностью радиуса R с центром в точке А. ( ).
dFy = , где G – гравитационная постоянная, dl = R dφ; Следовательно: Fy = .