14. Определение места судна при избыточных линиях положения

Если линий положения больше двух, они называются избыточными. В этом случае место определяется по способу наименьших квадратов. Решение выполняется в следующем порядке

Составляется система п уравнений линий положения, которые называются условными:

Метод наименьших квадратов сводит эту систему к системе двух уравнений с двумя неизвестными ∆φ и ∆ω.

Эти уравнения называются нормальными и решаются они как обычно. В общем случае нормальных уравнений всегда столько, сколько неизвестных.

Квадратные скобки в уравнениях означают суммирование по всем п уравнениям. Например:

[cosτ sinτ] = cosτ₁ sinτ₁, + cosτ₂ sinτ₂ +KK

Эти суммы называют коэффициентами нормальных уравнений.

Решаем систему нормальных уравнений с помощью определителей

Точность обсервованного места можно оценить 95% круговой погрешностью, радиус которой рассчитывается в следующей последовательности.

Вначале рассчитывается сумма квадратов невязок [VV]:

Затем рассчитывается СКП обсервованного места

Здесь D - главный определитель системы нормальных уравнений. Удваивая СКП, находим радиус 95% окружности.

R = 2М

Пример 14.1

Место судно определено по 4 лилиям положения: p₁ = +5,9'; τ₁ =124,9°;

p₁ = -4,5'; τ₂ =10,0°; p₃ = +6,7'; τ₃ =206,6°; р₄ = -1,8'; τ₄ =292,0°. По заданным элементам вычислить ∆φ, ∆ω и оценить точность обсервации 95% круговой погрешностью.

Решение.

Составляем систему условных уравнений

Рассчитываем коэффициенты нормальных уравнений

Вычисляем определители системы нормальных уравнений

D = 2,21 * 1,77 - (-0,24)² = 3,85

D_∆φ= (-14,40) * 1,77 - 2,73 * (-0,24) = -24,83

D_∆ω = 2,73 * 2,21 - (-14,40) * (-0,24) = 2,58

Определяем искомые приращения координат

∆φ = (-24,83) / 3,85 = -6,4'

∆ω = 2,58/3,85 = + 0,7'

Определяем радиус 95% окружности для оценки точности обсервации

Ответ: ∆φ = -6,4' ∆ω = + 0,7' R = 4,4 мили.

В задачах № 691 -720 по заданным элементам линий положения найти приращения к счислимым координатам и оценить точность обсервации 95% круговой погрешностью

№	p1	τ1	p2	τ2	p3	τ3	p4	τ4
1	2	3	4	5	6	1	8	9
691	+3,2'	124,9°	-4,5'	10,0°	+6,7'	190,6°	-2,5'	292,0°
692	+7,4	59,4	+5,6	145,6	-4,8	239,8	-8,2	322,5
693	-5,6	250,4	+8,1	70,3	-2,3	149,8	+6,2	348,6
694	+6,7	126,2	+2,4	217,7	-5,3	36,6	-10,6	295,3
695	-9,2	124,3	+4,8	46,5	+8,6	329,0	-4,9	250,7

№	p1	τ1	p2	τ2	p3	τ3	p4	τ4
696	+6,2	127,7	-5,8	32,0	-8,8	285,8	+9,3	197,7
697	+1,0	156,4	+1,4	37,2	-2,5	291,8	+1,2	309,0
698	-1,8	326,9	+4,5	87,0	-3,4	210,6	-3,9	126,6
699	-3,4	279,3	+4,6	46,2	-0,3	142,0	-2,5	105,4
700	-3,5	153,1	+3,8	266,9	-2,2	32,4	-2,1	172,7
701	-5,1	318,4	-1,9	73,6	+4,2	216,4	+2,8	35,9
702	-1,9	43,8	-0,6	253,8	+2,8	149,9	+4,8	167,7
703	+2,9	322,7	-6,4	218,6	-7,3	136,5	+10,6	39,1
704	+4,3	130,5	+ 10,1	18,6	-8,1	218,2	-8,6	305,8
705	-14,5	154,5	+8,4	57,6	+9,3	322,6	-9,3	218,6
706	+4,0	215,4	-0,7	40,4	-3,0	309,0	+6,3	138,0
707	-9,8	235,3	+10,3	72,1	-1.0	126,6	+12,4	0,6
708	+5,6	29,7	-3,7	203,7	-6,4	105,4	+9,7	299,1
709	+2,4	271,0	+1,2	105,7	+7,4	172,7	-5,3	3,5
710	+3.3	300,2	-3,9	131,3	+7,2	0,0	-3,7	246,6
711	+5,2	150,0	-2,5	332,6	-5,3	247,0	+6,3	57,9
712	+5,4	337,3	-2,1	143,0	-5,3	227,9	+5,4	56,9
713	-0,4	212,9	+2,8	35,9	+6,9	136,5	-4,5	302,7
714	+5,6	262,0	+4,8	167,7	-3.4	90,6	-4,3	5,2
715	-0,3	136,4	+2,0	38,2	-1,5	278,4	+8,1	322,6
716	+4,4	129,5	+0,8	24,8	-3,7	282,3	+2,4	339,0
717	+3,3	262,8	-3,8	113,3	+2,3	7,8	+4,8	166,6
718	-3,1	272,7	+4,4	30,4	-4,0	164,0	-5,8	326,9
719	+2,1	142,2	-5,1	255,6	+4,2	40,5	+1,4	279,3
720	+7,3	208,6	-13,1	96,0	-2,7	322,2	+4,5	153,1

Список литературы

1. Кожухов В.П., Григорьев В.В., Лукин СМ. Математические основы судовождения. М.: Транспорт, 1984

2. Кондрашихин В.Т. Определение места судна. М.: Транспорт, 1989 230 с.

3. Синяев В.А. Математические основы судовождения. Учебное пособие. Одесса, УМО ОГМА, 1996, 84 с.

4. Синяев В.А., Лукин М.Г., Кулик В.К. Математические основы судовождения. Сборник задач, М.: ЦРИА МОРФЛОТ, 1980, 59 с. 7. РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА (ОСНОВНА І ДОДАТКОВА).

Основна

1. В.П.Кожухов, В.В.Григорьев, С.М.Лукин Математические основы судовождения. 3-е изд. перераб. и доп., М.: Транспорт, 1993. 200 с.

2. В.А.Синяев Математические основы судовождения. Конспект лекций. Учебное пособие, Одесса: УМА ОГМА, 1995. 84 с.

3. В.А.Синяев, Лукин М.Г., Кулик В.К. Математические основы судовождения. Сборник задач. М.: ЦРИА «Морфлот». 1980. 58 с.

Додаткова

1. В.Т.Кондрашихин Определение места судна. 2-е изд. М.: Транспорт, 1989. 230 с.

2. В.Т.Кондрашихин Теория ошибок и ее применение к задачам судовождения. М.: Транспорт, 1969. 256 с.

3. Л.Л.Вагущенко Обработка навигационных данных на ЭВМ. М.: Транспорт, 1985. 145 с.

4. Н.М. Груздев Математическая обработка и анализ навигационной информации. М.: Воениздат, 1979. 223 с.

5. Мореходные таблицы 2002 г. (МТ–2000). Л.: ГУН и О МО СССР, 2002. 322 с.

Приложение 1
Функция Лапласа
z	0	1	2	3		4		5		6		7	8		9		z
0.0	0.000	0.008	0.016	0.024		0.032		0.040		0.048		0.056	0.064		0.072		0.0
0.1	080	088	095	103		111		119		127		135	143		151		0.1
0.2	158	166	174	182		190		197		205		213	221		228		0.2
0.3	236	243	251	259		266		274		281		289	296		504		0.3
0.4	311	318	325	333		340		347		354		362	369		376		0.4
0.5	0.383	0.390	0.397	0.404		0.411		0.418		0.424		0.431	0.438		0.445		0.5
0.6	452	458	465	471		478		484		491		497	504		510		0.6
0.7	516	522	528	535		541		547		553		559	564		570		0.7
0.8	576	582	588	594		599		605		610		616	621		626		0.8
0.9	632	637	642	648		653		658		663		668	673		678		0.9
1.0	0.683	0.688	0.692	0.697		0.702		0.706		0.711		0.715	0.720		0.724		1.0
1.1	729	733	737	742		746		750		754		758	762		766		1.1
1.2	770	774	777	781		785		789		792		796	799		803		1.2
1.3	806	810	813	816		820		823		826		829	832		836		1.3
1.4	838	842	844	847		850		853		856		858	861		864		1.4
1.5	0.866	0.869	0.871	0.8/4		0.876		0.879		0.881		0.884	0.886		0.888		1.5
1.6	890	893	895	897		899		901		903		905	907		909		1.6
1.7	911	913	915	910		918		920		922		923	925		927		1.7
1.8	928	930	931	933		934		936		937		938	940		941		1.8
1.9	943	944	945	946		948		949		950		951	952		953		1.9
2.0	0.954	0.956	0.957	0.958		0.959		0.960		0.961		0.962	0.962		0.963		2.0
2.1	964	965	966	967		968		968		969		970	971		972		2.1
2.2	972	973	974	974		975		976		976		977	977		978		2.2
2.3	979	979	980	980		981		981		982		982	983		983		2.3
2.4	984	984	984	985		985		986		986		986	987		987		2.4
2.5	0.988	0.988	0.988	0.989		0.989		0.989		0.990		0.990	0.990		0.990		2.5
3.0	0.997	0.997	0.997	0.998		0.998		0.998		0.998		0.998	0.998		0.998		3.0
3.5	1.000	1.000	1.000	1.000		1.000		1.000		1.000		1.000	1.000		1.000		3.5

									Приложение 2
				Распределение Стьюдента
n-1						Вероятность
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
1	0,158	0,325	0,510	0,727	1,000	1,376	1,963	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7	636,6
2	142	289	445	617	0,816	1,061	1,336	1,886	2,92	4,30	6,96	9,92	31,6
3	137	277	424	584	765	0,978	1,250	1,638	2,35	3,18	4,54	5,84	12,94
4	134	271	414	569	741	941	1,190	1,533	2,13	2,77	3,75	4,60	8,61
5	132	267	408	559	727	920	1,156	1,476	2,02	2,57	3,36	4,03	6,86
6	131	265	404	553	718	906	1,134	1,440	1,943	2,45	3,14	3,71	5,96
7	130	263	402	549	711	896	1,119	1,415	1,895	2,36	3,00	3,50	5,40
8	130	262	399	546	706	889	1,108	1,397	1,860	2,31	2,90	3,36	5,04
9	130	261	398	543	703	883	1,100	1,383	1,833	2,26	2,82	3,25	4,78
10	129	260	397	542	700	879	1,093	1,372	1,812	2,23	2,76	3,17	4,59
11	129	260	396	540	697	876	1,088	1,363	1,796	2,20	2,72	3,11	4,49
12	129	259	395	539	695	873	1,083	1,356	1,782	2,18	2,68	3,06	4,32
13	128	259	394	538	694	870	1,079	1,350	1,771	2,16	2,65	3,01	4,22
14	128	258	393	537	692	868	1,076	1,345	1,761	2,14	2,62	2,98	4,14
15	128	258	393	536	691	866	1,074	1,341	1,753	2,13	2,60	2,95	4,07
16	128	258	392	535	690	865	1,071	1,337	1,746	2,12	2,58	2,92	4,02
17	128	257	392	534	689	863	1,069	1,333	1,740	2,11	2,57	2,90	3,96
18	128	257	392	534	688	862	1,067	1,330	1,734	2,10	2,55	2,88	3,92
19	127	257	391	533	688	861	1,066	1,328	1,729	2,09	2,54	2,86	3,88
20	127	257	391	533	687	860	1,064	1,325	1,725	2,09	2,53	2,84	3,85
21	127	257	391	532	686	859	1,063	1,323-	1,721	2,08	2,52	2,83	3,82
22	127	256	390	532	686	858	1,061	1,321	1,717	2,07	2.51	282	3,79
23	127	256	390	532	685	858	1,060	1,319	1,714	2,07	2,50	2,81	3,77
24	127	256	390	531	6.85	857	1,059	1,318	1,711	2,06	2,49	2,80	3,74
25	127	256	390	531	684	856	1,058	1,316	1,708	2,06	2,48	2,79	3,72
26	127	256	390	531	684	856	1,058	1,315	1,706	2,06	2,48	2,78	3,71
27	127	256	389	531	684	855	1,057	1,314	1,703	2,05	2,47	2,77	3,69
28	127	256	389	530	683	855	1,056	1,313	1,701	2,05	2,47	2,76	3,67
29	127	256	389	530	683	854	1,055	1,311	1,699	2,04	2,46	2,76	3,66
30	127	256	389	530	683	854	1,055	1,310	1,697	2,04	2,46	2,75	3,65
40	126	255	388	529	681	851	1,050	1,303	1,684	2,02	2,42	2,70	3,55
60	126	254	387	527	679	848	1,046	1,296	1,671	2,00	2,39	2,66	3,46
120	126	254	386	526	677	845	1,041	1,289	1,658	1,980	2,36	2,62	3,37
∞	0,126	0,253	0.385	0,524	0,674	0,842	1,036	1,282	1,645	1,960	2,33	2,58	3,29
n-1	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
						Вероятность

Приложение 3

Азимуты видимого восхода или захода верхнего края Солнца при одноименных φ и δ

Ши -		Склонение Солнца одноименно с широтой								Широта
рота	13°	14°	15°	16°	17°	18°	19°	20°	21°
0° 77°0		76°0	75'0	74 °0	73°0	72°0	71°0	70°0	69°0	0°
5	76.9	75.9	74.9	73.8	72.8	71.8	70.8	69.8	68.8	5
10	76.6	75.6	74.6	73.6	72.5	71.5	70.5	69.5	68.5	10
15	76.3	75.2	74.2	73.1	72.1	71.1	70.0	69.0	67.9	15
20	75.8	74.7	73.6	72.6	71.5	70.4	69.4	68.3	67.2	20
22	75.6	74.5	73.4	72.3	71.2	70.1	69.0	67.9	66.8	22
24	75.3	74.2	73.1	72.0	70.9	69.8	68.7	67.5	66.4	24
26	75.0	73.9	72.8	71.6	70.5	69.4	68.3	67.1	66.0	26
28	74.7	73.6	72.4	71.3	70.1	69.0	67.8	66.6	65.5	28
30	74.4	73.2	72.0	70.9	69.7	68.5	67.3	66.1	64.9	30
31	74.2	73.0	71.8	70.6	69.4	68.2	67.0	65.8	64.6	31
32	74.0	72.8	71.6	70.4	69.2	68.0	66.8	65.6	64.3	32
33	73.8	72.6	71.4	70.1	68.9	67.7	66.5	65.2	64.0	33
34	73.6	72.4	71.1	69.9	68.7	67.4	66.2	64.9	63.7	34
35	73.4	72.1	70.9	69.6	68.4	67.1	65.8	64.6	63.3	35
36	73.1	71.9	70.6	69.3	68.1	66.8	65.5	64.2	62.9	36
37	72.9	71.6	70.3	69.0	67.7	66.4	65.1	63.8	62.5	37
38	72.6	71.3	70.0	68.7	67.4	66.1	64.8	63.4	62.1	38
39	72.4	71.0	69.7	68.4	67.1	65.7	64.4	63.0	61.7	39
40	72.1	70.7	69.4	68.0	66.7	65.3	63.9	626	61.2	40
41	71.8	70.4	69.0	67.7	663	64.9	63.5	62.1	60.7	41
42	71.5	70.1	68.7	67.3	65.9	64.5	63.0	61.6	60.2	42
43	71.1	69.7	68.3	66.9	65.4	64.0	62.6	61.1	59.6	43
44	70.8	69.4	67.9	66.5	65.0	63.5	62.0	60.5	59.0	44
45	70.4	69.0	67.5	66.0	64.5	63.0	61.5	60.0	58.4	45
46	70.0	68.5	67.0	65.5	64.0	62.5	60.9	59.1	57.8	46
47	69.6	68.1	66.6	65.0	63.5	61.9	60.3	58.7	57.1	47
48	69.2	67.6	66.1	64.5	62.9	61.3	59.6	58.0	56.3	48
49	68.8	67.2	65.5	63.9	62.3	60.6	59.0	57.3	55.6	49
50	68.3	66.6	65.0	63.3	61.6	59.9	58.2	56.5	54.7	50
51	67.8	66.1	64.4	62.7	61.0	59.2	57.4	55.6	53.8	51
52	67.2	65.5	63.8	02.0	60.2	58.4	56.6	54.8	52.9	52
53	66.7	64.9	63.1	61.3	59.5	57.6	55.7	55.8	51.8	53
54	66.1	64.2	62.4	60.5	58.6	56.7	54.8	52.8	50.7	54
55	65.4	63.5	61.6	50.7	57.7	55.7	53.7	51.7	49.5	55
56	64.7	62.8	60.8	58.8	56.8	54.7	52.6	50.5	48.2	56
57	64.0	62.0	59.9	57.9	55.8	536	51.4	49.2	46.8	57
58	63.2	61.1	59.0	56.8	54.6	52.4	50.1	47.7	45.3	58
59	62.3	60.1	58.0	55.7	53.4	51.1	48.7	46.2	43.6	59
60	61.4	59.1	56.9	54.5	52.1	49.7	47.1	44.5	41.8	60
61	60.4	58.0	55.6	53.2	50.7	48.1	45.4	42.6	39.7	61
62	59.3	56.8	54.3	51.8	49.1	46.4	43.5	40.5	37.3	62
62.5	58.7	56.2	53.6	51.0	48.3	45.4	42.5	39.4	36.0	62.5
63.0	58.1	55.5	52.9	50.2	47.4	44.5	41.4	38.1	34.7	63.0
63.5	57.5	54.8	52.1	49.3	46.4	43.4	40.2	36.8	33.2	63.5
64.0	56.8	54.1	51.3	48.4	45.5	42.3	39.0	35.4	31.6	64.0
64.5	56.1	53.3	50.5	47.5	44.4	41.1	37.7	33.9	29.8	64.5
65.0	55.4	52.5	49.6	46.5	43.3	39.9	1 36.2	32.3	27.9	65.0

Приложение 4

Коэффициенты метода размаха

п	5	6	7	8	9	10
Q	0.78	0.70	0.64	0.59	0.56	0.53
k	0.430	0.395	0.370	0.351	0.337	0.325

Q - для определения промахов; k - для расчета СКП.

Приложение 5

Таблица производных

№	Функция	Производная	Примечание
1	с	0	с - постоянное число
2	c+u	u'
3	cu	cu'
4	∑u	∑u'
5	uv	u'v + uv'
6	u/v	(u'v-uv') / v^2
7	x^n	nx^n-1	n - целое, дробное, отрицательное
8	е^х	e^x	е - основание натуральных логарифмов = 2,71828
9	с^х	c^xln c
10	lg x	lg e/x = 0.434/x
11	ln x	1/x
12	sinx	cosx
13	cosx	- sinx
14	tgx	1 / cos^2 x
15 16 17	ctgx arcsin x arccos x	- 1 / sin^2 x 1/ - 1/	х - в радианах
18	arctg x	l/(l+x^2)
19	f(φ(x))	Uφ'φ'(х)	сложная функция

Приложение 6

Градиенты навигационных параметров, априорные значения СКП

№	Навигационный параметр	g	τ		m
1	Визуальный пеленг П с судна на ориентир на плоскости	57,3°/Д	П-90°		V
	Значение m приведено с учетом погрешности в принятой ∆К.
2	Радиолокационный пеленг П с судна на ориентир	57,37Д	П - 90°		1,5°
	Значение m приведено с учетом погрешности в принятой ∆К, погрешности в опознании ориентира.
3	Расстояние Д (измеренное РЛС)	1	П±180"		0,007Шк
	Шк - шкала РЛС, на которой проводились измерения.
4	Высота светила h	1		А	1'
	А - счислимый азимут светила..
5	Разность расстояний: РНС Loran-C РНС Decca РНС Omega	2sin(ω/2)	(А1+A2)/2 ±90"		1 – 10 мкс 0,04 – 0,15 λ 0,05 – 0,09 λ
	ω - базовый угол, т.е. угол между пеленгами станций; A1 и А2 - пеленга станций; знак ± зависит от направления на ближайшую станцию. Для получения величины тапр в единицах длины необходимо: Loran-C - приведенное значение тaтр умножитъ на скорость света; Decca, Omega - приведенное значение тапр умножить на длину принимаемой волны.

							Приложение 7
	Параметры эллипса ошибок для двух линий положения
λ =	Величины	Угол пересечения линий положения θ
		20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°
	Kа	4.07	2.73	2.07	1.67	1.41	1.23	1.10	1.00
1.0	Кв	0.72	0.73	0.75	0.78	0.82	0.86	0.92	1.00
	φ	10	15	20	25	30	35	40	0
	Kа	4.50	3.02	2.29	1.86	1.57	1.38	1.25	1.20
1.2	Кв	0.78	0.79	0.82	0.84	0.88	0.92	0.97	1.00
	φ	8	12	16	9	21	22	17	0
	Kа	4.96	3.34	2.53	2.06	1.76	1.56	1.44	1.40
1.4	Кв	0.82	0.84	0.86	0.89	0.92	0.95	0.99	1.00
	φ	7	10	12	14	15	14	9	0
	Kа	5.45	3.67	2.80	2.29	1.97	1.76	1.64	1.60
1.6	Кв	0.86	0.87	0.89	0.91	0.94	0.97	0.99	1.00
	φ	5	8	10	11	11	10	6	0
	Kа	5.96	4.02	3.07	2.52	2.18	1.96	1.84	1.80
1.8	Кв	0.88	0.90	0.91	0.93	0.95	0.98	0.99	1.00
	φ	5	7	8	9	9	7	4	0
	Kа	6.48	4.38	3.35	2.76	2.40	2.17	2.04	2.00
2.0	Кв	0.90	0.91	0.93	0.95	0.96	0.98	1.00	1.00
	φ	4	5	7	7	7	6	3	0
	Kа	7.01	4.74	3.64	3.01	2.62	2.38	2.24	2.20
2.2	Кв	0.92	0.93	0.94	0.96	0.97	0.99	1.00	1.00
	φ	3	5	6	6	6	4	3	0
	Kа	7.54	5.11	3.93	3.25	2.84	2.58	2.44	2.40
2.4	Кв	0.93	0.94	0.95	0.96	0.98	0.99	1.00	1.00
	φ	3	4	5	5	5	4	2	0
	Kа	8.09	5.49	4.23	3.51	3.06	2.79	2.65	2.60
2.6	Кв	0.94	0.95	0.96	0.97	0.98	0.99	1.00	1.00
	φ	2	3 4		4	4	3	2	0

Продолжение приложения 7

	Величины	Угол пересечения линий положения θ
		20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°
	Kа	9.20	6.25	4.82	4.01	3.52	3.22	3.05	3.00
3.0	Кв	0.95	0.96	0.97	0.98	0.99	0.99	1.00	1.00
	φ	2	3	3	3	3	2	1	0
	Kа	10.60	7.22	5.58	4.65	4.09	3.74	3.56	3.50
3.5	Кв	0.97	0.97	0.98	0.98	0.99	0.99	1.00	1.00
	φ	I	2	2	2	2	2	1	0
	Kа	12.02	8.19	6.34	5.29	4.66	4,27	4.07	4.00
4.0	Кв	0.97	0.98	0.98	0.99	0.99	1.00	1.00	1.00
	φ	1	2	2	2	2	1	1	0
	Kа	14.88	10.15	7.87	6.58	5.80	5.33	5.0	5.00
5.0	Кв	0.98	0.99	0.99	0.99	0.99	1.00	1.00	1.00
	φ	1	1	1	1	1	1	0	0

2