3. Сферические треугольники
Часть сферы, заключенная между тремя попарно пересекающимися дугами больших кругов, называется сферическим треугольником.
Вершины сферического треугольника обозначаются заглавными буквами А, В, С, а противолежащие им стороны одноименными малыми буквами а, b, с. Стороны и углы при вершинах называются элементами сферического треугольника.
Будем рассматривать сферические треугольники, элементы которых меньше 180°. Такие треугольники называются треугольниками Эйлера.
Для того, чтобы решить сферический треугольник необходимо знать три из шести его элементов. При решении сферических треугольников будем использовать четыре основные теоремы сферической тригонометрии.
1. Теорема косинуса стороны.
В сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними:
cos а= cos b cos с + sin b sin с cos A
2. Теорема косинуса угла.
В сферическом треугольнике косинус угла равен отрицательному произведению косинусов двух других углов плюс произведение синусов этих углов на косинус стороны между ними:
cos А = - cos В cos С + sin В sin С cos a
В сферическом треугольнике на рис.3.1, элементы, отмеченные двумя черточками, лежат рядом. В данном случае сторона а и угол А называются крайними элементами, а сторона с и угол В называются средними элементами.
3. Теорема котангенсов или четырех рядом лежащих элементов;
В сферическом треугольнике для четырех рядом лежащих элементов котангенс крайнего угла, умноженный на синус среднего угла равен произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны, минус произведение косинусов средних элементов
ctgA sin В = ctg a sin с - cos В cos с
4. Теорема синусов:
В сферическом треугольнике отношение синуса угла к синусу противолежащей стороны есть величина постоянная:
sinA/sina=sinB/sinb=sinC/sinc = M,
где М- модуль сферического треугольника.
Будем использовать независимое решение, т.е. определять искомые элементы только через заданные, применяя для этого первые три теоремы. Для проверки правильности решения используется теорема синусов.
Решение сферических треугольников выполним в следующем порядке:
1. Записываем заданные элементы треугольника. Если требуется, для используемого типа калькулятора, данные записать в градусах и десятичных долях градуса (не менее трех значащих цифр после запятой).
2. Начертить произвольный сферический треугольник и отметить на нем заданные элементы.
3. С помощью основных теорем сферической тригонометрии установить связь между заданными и искомыми элементами, помня о том, что решение должно быть независимым.
4. Привести формулы к рабочему виду, для чего неизвестный элемент перенести в левую часть, а известные в правую. Преобразовать формулы таким образом, чтобы в них присутствовали только те прямые тригонометрические функции, которые можно вычислить с помощью данного калькулятора (как правило - sin, cos, tg).
5. Найти значения искомых элементов, стараясь при этом не делать лишних промежуточных записей (лучше вообще обходиться без них). Если калькулятор дает искомые элементы в градусах и долях градусов, перевести десятичные доли градусов в минуты и доли минут. Следует помнить, что главное значение функции arctg находится в интервале от -90° до +90". Если полученное значение arctg отрицательное, необходимо к результату прибавить 180°.
6. Произвести контроль по теореме синусов.
7. Записать ответ.
Пример 3.1. В сферическом треугольнике заданы две стороны и угол между ними: а =117°14,5'; B = 60°08,9'; c=77°41,3'. Определить: А, b, С.
Решение.
Дано:
а= 117° 14,5' =117,242°;
B= 60°08,9' = 60,148°;
с= 77°41,3'= 77,688°.
Найти: А, b, С.
Основные формулы:
ctgA sin В = ctg a sin с - cos В cos с;
cos b = cos a cos с + sin b sin c cos B;
ctg С sin В = ctg с sin a - cos a cos B.
Рабочие формулы:
tgA = sin В / (sin с/tg a - cos В cos c); A=125°04,9';
cos b = cos a cos с + sin a sin с cos B; b= 70°26,5';
tg С = sin B / (sin a/ tg с - cos a cos B); C= 64°03,6'.
Проверка:
sin A / sin a = 0,92042; sin В/Sin b = 0,92042; sin С /sin с = 0,92042,
Ответ:
A=125°04,9'; b=70°26,5'; C=64°03,6'.
В задачах №№ 61-120 заданы две стороны и угол сферического треугольника: а, b, С. Определить два угла и сторону: А, В, с.
№ |
а |
b |
С |
№ |
а |
b |
С |
61 |
83°54.3' |
90°18.1 |
162°56.6' |
66 |
92°28.8' |
92°20.3' |
160°54.4' |
62 |
86 56.9 |
11 53.2 |
34 46.1 |
67 |
88 59.1 |
7 49.1 |
28 39.5 |
63 |
20 36.9 |
62 48.4 |
138 31.9 |
68 |
21 59.1 |
64 50.6 |
142 36.1 |
64 |
59 27.2 |
66 49.9 |
115 15.2 |
69 |
61 29..4 |
62 45.7 |
110 08.6 |
65 |
32 02.4 |
35 18.7 |
83 35.2 |
70 |
27 58.2 |
37 20.9 |
87 39.4 |
№ |
а |
b |
С |
№ |
а |
b |
С |
71 |
22°40.2' |
64°51.7' |
144°38.2' |
96 |
0°54.1' |
16°10.7' |
66°45.1' |
72 |
102 03.1 |
94 22.5 |
158 22.2 |
97 |
1 01.6 |
2 10.7 |
40 49.3 |
73 |
84 54.9 |
9 51.2 |
32 43.7 |
98 |
36 12.4 |
0 54.2 |
55 46.8 |
74 |
23 21.3 |
66 58.2 |
145 40.3 |
99 |
92 01.3 |
2 14.3 |
78 53.8 |
75 |
63 31.6 |
59 41.5 |
104 30.7 |
100 |
38 17.6 |
1 32.8 |
2 14.5 |
76 |
23 54.1 |
38 43.5 |
92 10.6 |
101 |
1 50.6 |
0 43.8 |
45 10.4 |
77 |
112 33.2 |
97 23.5 |
155 45.1 |
102 |
2 15.4 |
3 01.9 |
73 46.9 |
78 |
80 50.7 |
12 45.3 |
37 46.7 |
103 |
0 29.5 |
3 11.7 |
86 56.8 |
79 |
24 43.5 |
67 21.3 |
151 10.4 |
104 |
56 23.9 |
73 12.7 |
122 57.6 |
80 |
65 33.8 |
54 37.3 |
99 40.5 |
105 |
38 08.7 |
33 10.4 |
78 23.7 |
81 |
19 49.8 |
42 45.2 |
96 13.4 |
106 |
77 25.5 |
88 54.2 |
162 55.7 |
82 |
122 35.4 |
97 45.2 |
152 46.8 |
107 |
85 55.8 |
12 42.7 |
39 40.5 |
83 |
76 46.5 |
12 10.7 |
41 34.1 |
108 |
19 55.8 |
63 57.1 |
132 36.3 |
84 |
17 47.7 |
43 56.2 |
98 10.5 |
109 |
58 26.1 |
69 01.2 |
120 13.6 |
85 |
26 05.7 |
69 10.8 |
156 23.7 |
110 |
34 04.5 |
35 55.1 |
80 54.1 |
86 |
67 36.1 |
52 53.7 |
93 11.4 |
111 |
87 27.7 |
92 20.4 |
158 36.2 |
87 |
15 45.6 |
44 10.8 |
101 54.2 |
112 |
87 58.1 |
10 10.6 |
29 14.7 |
88 |
132 37.6 |
99 54.8 |
150 35.7 |
113 |
21 18.2 |
64 39.7 |
142 54.2 |
89 |
72 42.3 |
16 10.4 |
46 51.8 |
114 |
60 28.3 |
65 10.4 |
114 56.7 |
90 |
27 27.9 |
73 14.2 |
159 42.1 |
115 |
30 00.3 |
37 51.2 |
87 42.9 |
91 |
69 38.2 |
47 45.2 |
88 35.9 |
116 |
97 29.9 |
94 13.5 |
153 26.8 |
92 |
1141.4 |
46 23.8 |
104 10.2 |
117 |
86 57.1 |
9 15.7 |
32 18.4 |
93 |
142 39.8 |
101 56.4 |
148 23.1 |
118 |
62 30.5 |
59 41.7 |
109 46.2 |
94 |
68 38.1 |
19 14.5 |
50 00.5 |
119 |
25 56.1 |
39 35.5 |
90 57.8 |
95 |
28 50.1 |
76 35.2 |
163 14.5 |
120 |
10 32.1 |
96 47.3 |
155 14.7 |
В задачах №№ 121-150 заданы три стороны сферического треугольника a, b ,c. Определить три угла А, В, С.
№ |
a |
b |
с |
№ |
a |
b |
с |
121 |
75°09.1' |
123°14.2' |
57°12.5' |
129 |
32°17.8' |
59°13.5' |
84°22.1' |
122 |
62 30.3 |
101 34.7 |
69 40.4 |
130 |
63 01.7 |
141 10.2 |
92 47.6 |
123 |
98 38.8 |
73 22.6 |
51 47.3 |
131 |
33 48.6 |
61 29.4 |
83 15.7 |
124 |
78 40.2 |
46 23.5 |
109 01.2 |
132 |
88 27.5 |
50 40.7 |
122 14.1 |
125 |
38 42.6 |
31 45.7 |
63 10.2 |
133 |
43 16.1 |
101 52.5 |
86 10.4 |
126 |
92 13.5 |
73 45.8 |
138 54.5 |
134 |
60 59.3 |
75 12.2 |
105 30.6 |
127 |
28 51.3 |
67 40.5 |
77 12.9 |
135 |
73 18.6 |
87 10.7 |
99 12.6 |
128 |
87 20.4 |
75 12.3 |
122 14.5 |
136 |
35 43.6 |
40 15.7 |
50 22.4 |
№ |
а |
b |
с |
№ |
а |
b |
с |
137 |
70°19.3' |
125°19.4' |
88°40.9' |
144 |
76°01.3' |
59°12.4' |
30°40.7' |
138 |
62 34.5 |
109 11.7 |
73 54.8 |
145 |
38 34.6 |
13122.7 |
97 20.5 |
139 |
57 14.5 |
68 12.7 |
101 35.6 |
146 |
111 12.4 |
73 10.2 |
61 45.7 |
140 |
24 42.9 |
15 10.7 |
33 54.6 |
147 |
1133.6 |
29 12.7 |
36 40.2 |
141 |
37 57.1 |
64 25.3 |
77 11.9 |
148 |
56 31.5 |
122 10.4 |
102 36.6 |
142 |
57 13.7 |
102 04.5 |
83 45.7 |
149 |
78 23.3 |
53 50.1 |
85 36.9 |
143 |
100 34.5 |
122 10.4 |
63 24.8 |
150 |
35 17.4 |
17 45.2 |
27 10.1 |
В задачах №№ 151-180 заданы три угла сферического треугольника A, В, С. Определить три стороны а, b ,с.
№ |
А |
В |
С |
№ |
А |
В |
С |
151 |
101°25.4' |
69°10.7' |
55°45.6' |
166 |
58°27.4' |
61°45.7' |
72°30.5' |
152 |
126 04.9 |
133 57.1 |
128 18.4 |
167 |
101 28.2 |
43 55.7 |
82 14.3 |
153 |
113 50.4 |
13135.6 |
139 11.7 |
168 |
79 09.5 |
66 30.4 |
136 55.1 |
154 |
87 42.1 |
81 55.6 |
55 45.7 |
169 |
28 45.2 |
85 23.4 |
9751.8 |
155 |
111 10.7 |
56 45.3 |
87 36.8 |
170 |
60 09.2 |
72 45.1 |
56 41.8 |
156 |
38 40.6 |
98 12.5 |
65 14.7 |
171 |
128 12.5 |
137 23.8 |
145 54.1 |
157 |
81 33.5 |
62 45.1 |
74 36.7 |
172 |
8129.2 |
96 34.2 |
116 42.7 |
158 |
129 11.1 |
130 25.7 |
108 45.8 |
173 |
151 29.4 |
124 30.2 |
140 22.7 |
159 |
64 18.1 |
104 10.3 |
82 45.1 |
174 |
63 18.6 |
57 52.4 |
70 35.9 |
160 |
129 02.3 |
125 23.8 |
139 54.2 |
175 |
93 27.8 |
110 50.2 |
81 22.6 |
161 |
58 18.8 |
97 51.2 |
76 13.4 |
176 |
102 50.1 |
100 17.5 |
136 44.3 |
162 |
83 32.8 |
55 13.4 |
70 42.1 |
177 |
148 07.3 |
101 42.8 |
125 16.7 |
163 |
116 30.7 |
130 25.4 |
119 54.2 |
178 |
133 09.5 |
80 15.2 |
109 42.1 |
164 |
69 18.7 |
97 05.5 |
39 53.1 |
179 |
83 11.7 |
80 25.6 |
116 45.9 |
165 |
120 07.1 |
150 25.5 |
140 40.4 |
180 |
59 10.2 |
73 52.1 122 35.2 |
|
В задачах №№ 181-210 заданы сторона и два угла сферического треугольника а, В, С. Определить угол и две стороны А, b ,с.
№ |
а |
В |
С |
№ |
а |
В |
С |
181 182 183 184 |
130°11.9' 45 40.6 102 42.2 18 10.9 |
94°55.1' 55 14.2 80 15.5 40 12.6 |
54°33.2' 137 12.4 77 51.3 161 35.7 |
185 186 187 188 |
75°12.5' 130 56.7 47 42.8 104 44.4 |
70°14.3' 96 55.1 55 11.4 82 35.6 |
104°22.7' 47 31.4 131 56.9 77 23.9 |
№ |
а |
В |
С |
№ |
а |
В |
С |
|
189 |
20°13.1' |
42°57.1' |
160°23.7' |
200 |
81°19.1' |
73°45.1' |
98°14.7' |
|
190 |
77 14.7 |
71 36.4 |
105 19.8 |
201 |
138 20.7 |
98 11.4 |
46 49.1 |
|
191 |
134 16.3 |
97 33.5 |
48 25.6 |
202 |
53 49.4 |
60 12.5 |
126 45.7 |
|
192 |
49 45.1. |
56 13.4 |
132 10.4 |
203 |
110 51.1 |
88 15.7 |
67 13.5 |
|
193 |
106 46.6 |
86 11.3 |
72 55.1 |
204 |
26 19.7 |
44 23.9 |
161 13.5 |
|
194 |
22 15.3 |
42 56.4 |
161 13.5 |
205 |
83 21.3 |
74 55.2 |
99 10.5 |
|
195 |
79 16.9 |
72 14.3 |
105 46.2 |
206 |
140 22.9 |
100 55.1 |
38 14.6 |
|
196 |
136 18.5 |
101 50.4 |
48 13.7 |
207 |
55 51.6 |
55 51.6 |
130 41.8 |
|
197 |
51 47.2 |
58 55.1 |
131 16.2 |
208 |
15 07.6 |
39 34.3 |
170 32.8 |
|
198 |
108 48.8 |
87 14.2 |
75 31.9 |
209 |
72 09.2 |
66 36.6 |
111 23.4 |
|
199 |
24 17.5 |
43 12.6 |
161 55.1 |
210 |
129 10.8 |
98 11.4 |
50 13.7 |
|