3)Лагранжев подход

Энергетический подход к теории колебаний:

Путь, пройденный точкой

Скорость движения, выраженная через угловую скорость

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия

Функция Лагранжа

Уравнение Эйлера

Находим последовательно все члены уравнения Эйлера

Подставляем найденные производные в уравнение Эйлера

Приводим к каноническому виду

Используем разложение синуса при малых углах

при

Получаем традиционное уравнение колебаний

4)Получение фазовой кривой

Выражаем координату через х

Домножаем на производную

внесение под дифференциал дает

Тогда получим и, домножив на массу будем иметь

Координатами являются импульс и координата, т.е. фазовые параметры

Поделив на энергию и приводя к каноническому виду

- уравнение кривой ( эллипс ) в координатах импульс - координата

5)Получение характеристик маятника на основе Гамильтонова подхода

Запишем Гамильтониан

Откуда следует дифференциальное уравнение первого порядка относительно угла отклонения маятника

Приводя уравнение к канонической форме, получим

Переменные разделяются

Проводя интегрирование, получим эллиптический интеграл, выражающийся через эллиптические функции

Разложение интеграла в ряд

Приближенное выражение для периода колебаний

уравнение колебаний (4) при малых углах отклонения примет вид

(7). Уравнение (7) есть дифференциальное уравнение простого гармонического колебания. Общее решение этого уравнения имеет вид

(8), где A и B или a и e суть постоянные интегрирования.

Отсюда сразу находим период (T) малых колебаний математического маятника (период — промежуток времени, в течение которого точка возвращается в прежнее положение с той же скоростью)

и

, т. к. sin имеет период равный 2  , то w T = 2 

(9).

Для нахождения закона движения при начальных условиях (5) вычисляем:

(10). Подставляя значения (5) в уравнения (8) и (10), получим:

φ₀ = A , 0 = ωB, т. е. B =0. Следовательно, закон движения для малых колебаний при условиях (5) будет:

φ= φ₀ cosωt (11).

Найдём теперь точное решение задачи о плоском математическом маятнике. Определим сначала первый интеграл уравнения движения (4). Так как

, то (4) можно представить в виде

. Отсюда, умножая обе части уравнение на dφ и интегрируя, получим:

Проверьте знак пред косинусом !!!!!!!!

(12). Обозначим здесь через φ₀ угол максимального отклонения маятника; тогда при φ = φ₀ будем иметь , откуда C = ω 2cosφ₀. В результате интеграл (12) даёт:

(13), где w определяется равенством (3).

Этот интеграл представляет собой интеграл энергии и может быть непосредственно получен из уравнения

(14), где — работа на перемещении M₀ M активной силы F , если учесть, что в нашем случае v₀ = 0, и .

Из уравнения (13) видно, что при движении маятника угол j будет изменяться между значениями + φ₀ и - φ₀ (| φ | φ₀, так как ), т. е. маятник будет совершать колебательное движение. Условимся отсчитывать время t от момента прохождения маятника через вертикаль OA при его движении право (см. рис.). Тогда будем иметь начальное условие:

при t = 0, φ = 0(15).

Кроме того, при движении из точки A будет ; извлекая из обеих частей равенства (13) квадратный корень, получим:

. Разделяя здесь переменные, будем иметь:

(16).

Так как

,

, то

. Подставляя этот результат в уравнение (16), получаем:

(17).

Чтобы проинтегрировать уравнение (17), нужно найти квадратуру левой части. Для этого перейдём от φ к новым переменным a , полагая:

, где (18).

Тогда

, откуда

. Кроме того,

. Подставляя все эти величины в уравнение (17) и заменяя w его значением (3), получим:

(19).

По принятым начальным условиям (15) при t = 0 угол φ = 0, следовательно, как видно из (18), и a = 0. Тогда, беря от обеих частей уравнения (19) определённые интегралы справа от 0 до t , а слева от 0 до a , получим закон движения маятника в виде

(20).

Интеграл, стоящий в левой части равенства (20), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т. е

(21). Если в равенстве (21) рассматривать верхний предел a как функцию от интеграла u , то такая функция носит название амплитуды u и обозначается так:

или

(22).

Беря от обеих частей равенства (22) синус, мы получим:

(23).

Функция sinu (синус-амплитуда u) представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (20),

, то, переходя в равенстве (23) от a к φ с помощью формулы (18), найдём закон движения маятника, выраженный эллиптической функцией sin , в виде

(24).

Период колебаний

Найдём период T колебания маятника. Из положения φ= 0 в положение φ = φ₀ маятник приходит за четверть периода. Так как, согласно равенству (18), при φ = 0 и a = 0, а при φ = φ₀ величина , то из уравнения (20) имеем:

(25).

Таким образом, определение периода колебаний маятника сводится к вычислению величины

(26), представляющей собой четверть периода эллиптического интеграла (21).

Известно (формула Валлиса), что

(27). Разлагая в выражении (26) подынтегральную функцию в ряд, получим:

. Тогда, используя формулу (27), будем иметь:

(28). Подставляя это значение K в равенство (25) и учитывая, что

, получим для периода колебаний плоского математического маятника выражение

(29).

Следовательно, чем больше φ₀ (угол размаха), тем больше период колебания маятника. Таким образом, математический маятник свойством изохронности не обладает. Если при малых размерах ограничиться в формуле (29) только двумя первыми членами, то, полагая , получим приближённое выражение периода

(30).

Решение дифференциального уравнения, описывающего колебания

6) Для дифференциального уравнения произвольного порядка, линейного имеем

;

Общее решение диф ур равно линейной комбинации частных решений

, где - линейно независимое решение этого уравнения;

Общий подход к решению заключается в поиске решения в экспоненциальной форме

Первая производная

вторая

Производная n-го порядка

При подстановке этих выражений в исходное уравнение получаем характеристическое уравнение n-порядка, которое имеет n-корней

Определяя корни, получаем общий вид решения

Введем обобщенную координату q:

Через обобщенные координаты уравнение колебаний выражается в форме

;

Ищем решение в виде

Первая производная

Вторая производная

Или обозначая производные точками

,

После подстановки в уравнение имеем

Вынося экспоненту

Получаем характеристическое уравнение, определяем корни

Получается два мнимых корня

Общее решение запишем в виде

,

где - комплексные постоянные

Значение для координаты должно быть вещественным, т.е. должно выполняться равенство

q = Req

Лекция№10

;

,

;

,

;

, где - линейно независимое решение этого уравнения;

,

Использование комплексных чисел для решения дифференциальных уравнений теории колебаний

Экскурс в комплексные числа

Некоторые заметки по комплексным числам

Запишем комплексное число, состоящее из действительной и мнимой части

- комплексное число

- действительная часть

- мнимая часть

Представление комплексного числа в полярных координатах

;

Заменяя координаты через полярное представление, получаем

;

Или

;

Радиус по теореме Пифагора равен

Комплексно сопряженное число

- комплексно сопряженное число к комплексному числу ;

Сложение двух комплексных чисел

+

После сложения ясно, что действительная часть суммы равна сумме слагаемых и так же для мнимой

Произведение комплексных

Экспоненциальное представление комплексного числа осуществляется по формуле Эйлера

- формула Эйлера

Докажем эту формулу

Для этого запишем разложение экспоненты в ряд Тейлора

- по формуле Тейлора

Для комплексной экспоненты разложение имеет вид

Сопоставляя это разложение с разложением тригонометрических функций

Переписывая разложение комплексной экспоненты

получим формулу Эйлера

- формула Эйлера

Экспоненциальное представление комплексного числа имеет вид

- в экспоненциальной форме

Для произведения более удобная форма(радиусы перемножаются, углы-складываются)

Это важно!!!!!

Для того, чтобы комплексно сопряженное число было равно комплексному, необходимо, чтобы оно было действительным числом.

При этом для алгебраической формы представления справедливо условия равенста комплексных чисел, когда равны действительные и мнимые части

Для комплексной формы справедливо

из равенства комплексных чисел следует равенство радиусов и углов

Используем комплексное представление для решения дифференциальных уравнений колебаний

Запишем решение дифференциального уравнения колебаний

;

,

,

;

,

,

где - комплексные постоянные

Значение для координаты должно быть вещественным, т.е. должно выполняться равенство

q = Req

Используя равенство комплексно сопряженной функции комплексной функции, получаем возможность получения действительного решения

;

Перепишем решение в виде равенства(в этом случае решение - действительная функция)

;

Учитывая это, представим коэффициенты в виде

Возьмем

;

, где - постоянные(неизвестные).

Тогда получим

Или преобразуя

Получим в результате

В решении имеем выражение вида:

;

Выразим его по формуле Эйлера:

Или если знак аргумента отрицательный

;

Сложение экспонент дает

;

Или

Заменяя сумму экспонент в решении уравнения колебаний через косинус, получим

- решение для обобщенной координаты для гармонических колебаний.

ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН.

ВВЕДЕНИЕ

Раздел посвящен изучению колебательно-волновых закономерностей, пронизывающих всю современную физику. В механике и акустике, в радиофизике и оптике, в квантовой физике и физике твердого тела — всюду мы сталкиваемся с колебаниями и волнами. Здесь особенно ярко находит отражение современная тенденция сближения и взаимопроникновения различных областей науки. Единый подход к изучению колебаний и волн различной физической природы, основанный на общности уравнений,

описывающих колебательно-волновые закономерности, позволяет выявить глубокие

связи между различными, на первый взгляд, явлениями. Он оказался плодотворным по крайней мере в двух отношениях. Во-первых, он позволил обобщить и распространить на различные области физики идеи и методы, возникшие первоначально в какой-либо одной области (например, идею Габора электронной голографии вначале на оптическую, а затем на радио- и акустическую голографию). Во-вторых, он позволил выявить плодотворные колебательно-волновые аналогии: идеи и методы решения задач физики колебаний перенести на задачи волновые и наоборот (например, фильтрация временных сигналов-колебаний и пространственная фильтрация волн).

Знания и интуиция, которые мы приобретаем при изучении колебаний и волн одной физической природы естественным образом используются при изучении явлений казалось бы совершенно иной природы. Например, изучая поведение волн света, мы начинаем глубже понимать, как ведут себя «волны вероятности», которыми оперирует квантовая физика или волны звука, которые изучаются в акустике. Таким образом, изучая колебания и волны, мы будем обращать внимание не только на то, что «волнуется» и что

«колеблется», а главным образом на то, как и почему происходят колебания и

возникают волны.

КИНЕМАТИКА КОЛЕБАНИЙ