3.3. Солитонное решение уравнения для осциллятора с нелинейностью синуса

Отметим, что в силу того, что фазовый портрет является периодическим по x, фазовые траектории часто изображают на поверхности цилиндра. Запишем для уравнения(3.16) закон сохранения энергии

x´²/2 - cos x =Е, (3.20)

где Е =const - полная энергия. Колебательным движениям соответствуют значения -1 < Е < 1, ротационным - Е > 1, движение по сепаратрисе, идущей из седла в седло, реализуется при Е = 1. Тогда интеграл энергии(3.20) дает

x´²/2 = 1 + cos x = 2cos² (x/2). (3.21)

Разделяя переменные в этом уравнении, получим

dx/2cos (x/2) = ±dt . (3.22)

Полученные соотношения легко можно проинтегрировать:

ln |tg ((x +π)/4)| = ±(t – t₀), (3.23)

где t₀ - постоянная интегрирования.

Выражая отсюда x, окончательно получаем

x = 4arctg (exp[±(t – t₀)] – π, x´ = ±2/ch (t – t₀). (3.24)

Знаки «+» «-» соответствуют двум различным сепаратрисам, лежащим в различных полуплоскостях.

Можно показать, что зависимости (3.24) могут быть преобразованы к виду:

x = ±2arcsin (th t), x´ = ±2/ch t. (3.25)

в случаях, когда эллиптические функции выражаются через гиперболические, т.е. когда параметр m → 1.

2.5. Гармонический осциллятор и уравнение Шредингера.

Гармонический осциллятор. Одномерный гармонический осциллятор является простейшей моделью периодического колебания материальной точки возле положения равновесия. Дифференциальное уравнение осциллятора

x'' +ω² x = 0

имеет решение

x(t)=a sin(ωt+φ).

Скорость частицы равна

x' = aωcos(ωt+φ),

кинетическая T и потенциальная V соответственно равны

T(x')=m x'²/2; V(x)= mω² x²/2, ω² =k/m.

Поэтому полная энергия E(ω) частицы приобретает значение

E=T+V= (m/2)(a²ω² cos²(ωt+φ)+ a²ω² sin²(ωt+φ))

= ma²ω² /2 (2.9)

Полная энергия Е зависит только от ω и является постоянной функцией времени. Это означает сохранение полной энергии, и при движении точки происходит преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно строго в соответствии с законом(2.9).

Комплексная форма осциллятора. Формальное обобщение модели осциллятора на комплексный случай, получается заменой вещественной координаты x(t) на комплексную z(t):

z(t)= a cos(ωt+φ)+ ia sin(ωt+φ)) (2.10)

Тогда для комплексных скорости z' (t) и ускорения z'' (t) получим выражения:

z' (t)= -aω sin(ωt+φ)+ ia ωcos(ωt+φ))

z'' (t)= -aω² cos(ωt+φ)- ia ω²sin(ωt+φ)),

из которых следует связь между координатами, скоростями и ускорениями

z'- iωz = 0, z'' +ω²z=0. (2.11)

Аналогично, можно записать соотношения для комплексно-сопряженных координат, скоростей и ускорений

z*(t)= a cos(ωt+φ)+ ia sin(ωt+φ)),

z*' (t)= -aω sin(ωt+φ)+ ia ωcos(ωt+φ)),

z*'' (t)= -aω² cos(ωt+φ)- ia ω²sin(ωt+φ)),

откуда следует связь между ними

z*'- iωz* = 0, z*'' +ωz*=0. (2.12)

Характерно, что комплексный закон движения (2.10) удобно отображать на плоскости в переменных Re(z), Im(z).Тогда в любой момент времени t точка будет находиться на окружности радиуса а с центром в начале координат, причем соотношение (2.10) будет описывать движение частицы против часовой стрелки, а выражение (2.11)-по часовой стрелке. Таким образом, формальное обобщение описания гармонического осциллятора на комплексный случай приводит к описанию двух типов круговых движений частицы в разных направлениях.

Уравнение Шредингера. Физическая частица одновременно обладает и корпускулярными и волновыми свойствами. Это означает, что с одной стороны, ее движение в пространстве φ(r,t), где r- радиус вектор, имеет волновой характер, подчиняющийся волновому уравнению0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

c²∂²φ/∂t²-∆φ=0, (2.13)

а с другой стороны – имеют смысл законы движения частицы по круговой орбите (2.11), (2.12). Отметим также, что и сам характер решений волнового уравнения(2.13) предусматривает решения двух типов в виде прямой и обратной волн, что подсказывает возможность соединения в одной модели волновых и корпускулярных свойств объекта.

Будем считать в(2.13) φ=z+z*, где z и z* комплексные функции со свойствами (2.11) и (2.12). Тогда получим из (2.13) уравнения для каждой из компонент:

∆z - (1/c²)∂²z/∂t² =∆z+(ω²/c²)z

∆z* - (1/c²)∂²z*/∂t² =∆z*+(ω²/c²)z*.

Известна формула Планка для фотона T=hω. Поскольку кинетическая энергия частицы T=E-V, получим уравнения для прямой волны:

∆z+ωz(E-V)/(hc²)=0.

После использования первого равенства

z'- iωz = 0 (2.11):

iћ(E/mc²)∂z/∂t = (ћ²/m)∆z - (ωћ/mc²)Vz.

Теперь можно сопоставить это уравнение с уравнением Шредингера для волновой функции частицы ψ:

iћ ∂ψ/∂t = (ћ²/2m)∆ψ – Vψ. (2.14)

Модель Френкеля – Конторовой. Колебания упругой среды как предел колебаний дискретных точечных масс

Рассмотрим линейную цепочку точечных масс m, соединенных пружинами одинаковой жесткости к(рис.). Описание движения такой системы масс в классической механике базируется на введении обобщенных координат q_i

Рисунок 2.6.3.

Простейшая одномерная модель твердого тела

Пусть q_i(t)-отклонения точечных масс от равновесных положений.

Кинетическая T и потенциальная U энергии системы определяются выражениями:

Будем считать крайние массы закрепленными в равновесных положениях, так, что

q₁ =q_N =0 при всех t.

Уравнение движения системы можно получить из условия стационарности действия

S = 0 –принцип наименьшего действия

Здесь функционал

Функция Лагранжа

Условие S = 0 приводит к уравнениям движения в лагранжевой форме

S = 0

Которые при подстановке Лагранжиана принимают вид:

Рассматриваем эту механическую систему как дискретную модель упругого стержня. Чтобы модель стала адекватна тому, что принято в механике сплошной среды называть упругим стержнем, необходимо выполнить предельный переход к непрерывной системе(число масс будет стремиться к бесконечности, а равновесное состояние а между ними –к нулю). Задача –проследить модификацию функции Лагранжа и вариационного принципа при таком предельном переходе.

Предельный переход в уравнениях движения начинаем с деления уравнения движения на равновесную длину одного звена а и перепишем равенство в виде

Выражение для силы трансформируется следующим образом

Отношение

Представляет собой относительное удлинение одного звена.

Согласно закону Гука

F=Eξ

Где E –модуль Юнга – одна из упругих постоянных вещества; ξ - относительное удлинение

Таким образом, ka=E имеет смысл модуля Юнга и должен считаться постоянной при предельном переходе.

Введем, далее, равновесную координату n – го узла: x_i = ia. Для дискретной системы она меняется скачками, но при предельном переходе a→0, n→∞ величина x становится непрерывной величиной(декартовой координатой). Рассматривая a как малое приращение координаты x имеем

(q_i+1 - q_i )/a = [q(x+a) - q (x)]/a ≈ ∂q (x)/∂x

Аналогичным образом

(q_i - q_i-1 )/a ≈ ∂q (x-a)/∂x

Следует помнить, что q зависит также от t.

С учетом введенных обозначений уравнение движения приобретает вид:

Наконец, разность первых производных в близких точках, деленную на а, заменяем второй производной по координатам и получаем уравнение движения упругого стержня

Это волновое уравнение, которое можно переписать в виде:

Где с –скорость продольных волн.

Теперь проделаем предельный переход для функции Лагранжа

a→

→

Сумма по всем частицам при таком предельном переходе превращается в интеграл по координате. Функция, стоящая под знаком интеграла, называется плотностью функции Лагранжи или лагранжианом

L=

Итак получено правило перехода от механики материальных точек к механике непрерывных систем:

1. номер частицы переходит в координату

2. обобщенная координата становится функцией координаты и времени. Число обобщенных координат может быть произвольным. Например, при трехмерном движении упругой среды вектор деформации имеет три составляющих. Электромагнитное поле описывается в каждой точке четырьмя обобщенными координатами – компонентами 4-потенциала и т.д.