1.1. Гармонические колебания

Колебание — более или менее регулярно повторяющийся процесс. Таково очень нестрогое, «качественное» определение понятия «колебание». Можно привести множество примеров колебательных процессов, относящихся к различным областям физики (и не только физики). Колеблется маятник часов; колеблется груз, подвешенный на пружине; колеблется взволнованная поверхность воды и гитарная струна; колеблется заряд на пластинах конденсатора и магнитное поле в катушке индуктивности колебательного контура; более или менее периодически изменяется температура

воздуха (зимой холоднее — летом теплее) и количество автомобилей на улицах города (больше в часы пик — меньше поздней ночью); периодически меняется экономическая ситуация в жизни общества: кризисные явления сменяются подъемом экономики. Колеблется давление (или плотность воздуха), вызывая колебания ушной мембраны — и мы слышим голос певца на оперной сцене. Таких примеров можно привести как угодно много. В настоящей главе мы не будем выяснять причины возникновения колебаний в

той или иной физической системе. Здесь мы лишь познакомимся с наиболее часто встречающимися простейшими видами колебательных движений, основными характеристиками колебательных процессов, с математическим способом описания колебаний. Оставляя пока в стороне физическую приро-

природу колеблющейся величины, будем обозначать ее буквой S, подчеркивая при

этом, что любой колебательный процесс развивается во времени S = S(t).

(Величиной S может быть и угол отклонения маятника часов, и величина

растяжения-сжатия пружины при колебаниях груза, и изменяющийся заряд

на пластине конденсатора, и плотность воздуха при распространении звуковой

волны. В общем, S — любая колеблющаяся величина.)

Наиболее простая функция, описывающая периодический процесс, имеет вид

S(t) = a cos (ωt + φ), (1.1)

где a, ω и φ — константы.

Рис. 1.1

Функцию (1.1) физики называют уравнением гармонических колебаний, ее график изображен на рис. 1.1. Она хороша, разумеется, не только потому, что имеет довольно простой математический вид. Более существенно то обстоятельство, что реальные колебания во многих физических системах зачастую очень хорошо описываются этой функцией, т. е. близки к гармоническим колебаниям. Имеются и другие веские причины, по которым гармонические колебания играют исключительную роль в современной физике. Об этом мы еще будем говорить.

Легко проверить, что функция (1.1) является периодической, т. е. для любого момента времени t имеет место равенство

S(t) = S(t + Т),

где Т называется периодом колебаний:

Т = (2π/ω)n.

Обычно периодом колебаний называют минимальное значение Т (n = 1)

Т = 2π/ω. (1.2)

Величина uj называется круговой частотой. Положительная константа а — амплитуда колебания (это максимальное отклонение величины S от

равновесного значения S = 0). Аргумент косинуса в (1.1) — угол Ф, выраженный в радианах, называется фазой колебания:

Ф = ωt + φ, (1.3)

а значение Ф при t = 0, т. е. величину φ называют начальной фазой. Соотношение (1.3) — это линейная связь между фазой колебания Ф и круговой частотой ω, из которой следует

ω = Ф'.

Круговая частота — это производная фазы Ф по времени.

Число колебаний в секунду

ν = 1/Т (1.4)

называют циклической частотой (иногда просто частотой). Единица циклической частоты — герц (1/с). Например, ν = 50 с^-1 — колебание с частотой

50 герц (Гц). Очевидно,

ω = 2πν (1.5)

(колебанию 1 Гц герц соответствует изменение фазы — угла поворота, —равное 2π в секунду).

Сделаем еще одно важное замечание, касающееся гармонических колебаний: очевидно, ни один реальный процесс не может, строго говоря, описываться функцией вида (1.1). Ведь синусоида не имеет ни начала, ни конца — и хотя бы поэтому бесконечно длящийся колебательный процесс неосуществим.