1.5 Пример расчета погрешностей

Требуется установить параметры эмпирической, линейно изменяющейся составляющей погрешности микрометра, применив способ наименьших квадратов. Искомую функцию представляем в виде полинома 1-го порядка:

a + Х_о∙b = ∆Х_о (1.6)

1.5.1 Для того, чтобы найти коэффициенты a и b, составим систему из шести условных уравнений (по числу экспериментальных точек шкалы), выражая Х_о и ∆Х_о в одних единицах длины – микрометрах (мкм).

a + 0∙b = +0,3 мкм

a + (5,12 ∙10³) мкм ∙b = + 2 мкм

a + (10,24 ∙10³) мкм∙b = + 1 мкм (1.7)

a + (15,36 ∙10³) мкм ∙b = + 4 мкм

a + (21,5 ∙10³) мкм ∙b = + 3 мкм

a + (25,0 ∙10³) мкм ∙b = + 5 мкм

1.5.2 Составим нормальные уравнения, для чего

а) каждое условное уравнение системы (1.7) умножим на коэффициент при a (он равен 1), складываем эти уравнения и находим первое нормальное уравнение

a + 0∙b = +0,3

a + 5,12 ∙10³∙b = + 2

a + 10,24 ∙10³∙b = + 1

a + 15,36 ∙10³∙b = + 4

a + 21,5 ∙10³∙b = + 3

a + 25,0 ∙10³∙b = + 5

6∙a + 77,22∙10³∙b= +15,3 (1.8)

б) умножаем каждое условное уравнение системы (1.7) на коэффициент при b, сокращая каждый член уравнения на общий множитель 10³, складываем их и находим второе нормальное уравнение

5,12∙a + 26,21 ∙10³∙b = + 10,24

10,24∙a + 104,88 ∙10³ ∙b = + 10,24

15,36∙a + 235,93 ∙10³ ∙b = + 61,44 (1.9)

21,5∙a + 462,25 ∙10³ ∙b = + 64,5

25,0∙a + 625 ∙10³ ∙b = +125

77,22∙a +1454,27 ∙10³ ∙b = +271,42

1.5.3 Решаем систему нормальных уравнений (1.8) и (1.9) и находим искомые параметры a и b:

a = +0,32 мкм , (1.10)

b = + 0,17∙10^-3,

где b – безразмерный коэффициент.

В результате находим искомую эмпирическую функцию, выражающую теоретическую зави­симость между погрешностью ∆Х_о и измеряемой величиной Х, которая будет иметь вид

∆Х_о = 0,32 + 0,17 ∙10^-3∙Х , (1.11)

где а = 0,32 мкм – погрешность настройки на ноль.

1.5.4 По найденной формуле находим теоретические значения погрешностей:

∆Х₀₀ = +0,32 мкм+ 0,17∙10^-3∙0 = +0,32 мкм

∆Х₀₁ = +0,32 мкм + 0,17∙10^-3∙5,12 мм = +1,2 мкм

∆Х₀₂ = +0,32 мкм + 0,17∙10^-3∙10,24 мм = +2 мкм (1.12)

∆Х₀₃ = +0,32 мкм + 0,17∙10^-3∙15,36 мм = +2,9 мкм

∆Х₀₄ = +0,32 мкм + 0,17∙10^-3∙21,5 мм = +4 мкм

∆Х₀₅ = +0,32 мкм + 0,17∙10^-3∙25,0 мм = +4,6 мкм

1.5.5 Строим графики экспериментальных и расчетных значений погрешностей рычажного микрометра (рисунок 1.1 в).

1.5.6 Определяем отклонение шага ES микровинта:

ES=ES_∑ / n_∑, (1.13)

где ES_∑ – накопленная погрешность шага на всем диапазоне измерения,

n_∑ – общее количество шагов микровинта на всем диапазоне измерения.

1.5.7 Определяем отклонения от перпендикулярности измерительных поверхностей к оси микровинта EPE – как амплитуду синусоидального изменения погреш­ности относительно линейной составляющей и погрешность настройки на ноль а.

1.5.8 Определяем расчетное значение наибольшей по абсолютному значению погрешности рычажного микрометра:

∆Х_нб = |ES_∑ + 0,5EPE+а |. (1.14)