- •1. Методичні вказівки до розв’язування задач
- •2. Вектори
- •Позначається векторний добуток на так: .
- •Вектор називається подвійним векторним добутком. Він є компланарним з векторами і . Можна показати, що . Приклад 1
- •Приклад 2
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •3. Основи кінематики
- •3.1. Кінематика точки
- •3.2. Кінематика обертального руху
- •3.3. Приклади розв’язування задач з кінематики
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •4. Динаміка
- •4.1. Методичні вказівки до розв’язування задач з динаміки
- •4.2. Динаміка матеріальної точки і поступального руху тіла
- •4.3. Приклади розв’язування задач з динаміки матеріальної точки і поступального руху тіла
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •4.4. Динаміка твердого тіла
- •4.5. Приклади розв’язування задач з динаміки твердого тіла
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Приклад 5
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Додаток
- •Основні одиниці сі
- •Приставки для утворення десяткових кратних і часткових одиниць
- •Деякі астрономічні величини
- •Похідні одиниці механічних величин в сі
- •Фундаментальні фізичні сталі
- •Список рекомендованої літератури
Задачі для самостійного розв’язування
У човні маси кг стоїть людина маси кг. Човен пливе з швидкістю . Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямі з швидкістю (відносно човна). Знайти швидкість руху човна після стрибка людини у двох випадках: 1) людина стрибає вперед за рухом човна та 2) у бік, протилежний рухові човна.
Відповідь: 1) 1 м/с; 2) 3 м/с.
Приклад 3
Частинка, яка початково перебувала в спокої, під дією сили Н, пересунулася з точки 1 з координатами (1, 2, 3) м в точку 2 з координатами (3, 2, 1) м.
Яка при цьому відбувається робота A?
Як змінилася кінетична енергія частинки?
Розв’язання:
Робота сталої сили
, (3.1)
де – переміщення частинки. У декартових координатах скалярний добуток сили на переміщення має вигляд:
. (3.2)
Після підстановки числових значень в формулу (3.2) дістанемо:
Дж.
Зміна кінетичної енергії частинки дорівнює роботі зовнішньої сили, отже,
Дж.
Тобто енергія зменшується на 10 Дж.
Задачі для самостійного розв’язування
Частинка виконала переміщення по деякій траєкторії у площині ХY з точки 1 з радіусом-вектором м в точку 2 з радіусом-вектором м. При цьому на неї діяла сила Н. Знайти роботу, яку виконала сила .
Відповідь: Дж.
На матеріальну точку при її переміщенні з точки А (20; 15; 0) м в точку В (0; 0; 7) м водночас діють дві сталі сили:
Н,
Н.
Якою є робота, що виконується над матеріальною точкою?
Відповідь: Дж.
Приклад 4
Водометний двигун катера забирає воду з річки і викидає її з швидкістю відносно катера назад. Маса катера кг. Маса щосекунди викиданої води є сталою й дорівнює . Нехтуючи опором рухові катера, визначити:
швидкість катера через хв після початку руху;
якої граничної швидкості може досягти катер.
Розв’язання:
Нехай – швидкість катера у довільний момент часу . За проміжок часу катер викидає води із швидкістю відносно нерухомої системи відліку (берега річки). Якщо знехтувати масою захопленої двигуном води у порівнянні з масою катера, згідно з законом зберігання імпульсу:
. (4.1)
Оберемо вісь х таким чином, щоб її додатний напрям збігався з напрямом руху катера. Спроектуємо усі вектори на вісь й напишемо рівняння (4.1) для проекцій:
. (4.2)
Зведемо подібні, тоді рівняння (4.2) набуде вигляду:
. (4.3)
Після відокремлення змінних дістанемо
.
Виконаємо інтегрування, враховуючи, що при змінюванні часу від нуля до швидкість зростає від нуля до :
.
Після інтегрування:
.
.
Залежність швидкості від часу:
. (4.4)
З формули (4.4) випливає, що
.
Після підстановки числових значень знайдемо швидкість катера через одну хвилину:
.
Задачі для самостійного розв’язування
Ракета рухається у відсутності зовнішніх сил, випускаючи неперервний струмінь газу із швидкістю , сталою відносно ракети. Знайти швидкість ракети на момент, коли її маса дорівнює , якщо у початковий момент вона мала масу і її швидкість дорівнювала нулю.
Відповідь: .
Знайти закон змінювання маси ракети з часом, якщо ракета рухається у відсутності зовнішніх сил із сталим прискоренням , швидкість витікання газу відносно ракети є сталою й дорівнює , а маса ракети у початковий момент дорівнює .
Відповідь: .
Приклад 5
Тіло маси m кинули під кутом до горизонту з початковою швидкістю . Нехтуючи опором повітря, знайти:
миттєву потужність , що розвивається при польоті тіла прикладеною до нього силою,
значення потужності у вершині траєкторії,
середнє значення потужності за час підйому тіла,
середнє значення потужності за весь час польоту (точка кидання і точка падіння містяться на одному рівні).
Розв’язання:
Миттєва потужність:
.
Оскільки на тіло діє тільки сила ваги
. (5.1)
Проекції сили ваги:
.
Рівняння (5.1) для проекцій має вигляд:
. (5.2)
Проекція швидкості на вісь Y, як випливає з рис. 5.1:
.
Тоді залежність миттєвої потужності від часу (вираз (5.1) ) набуває вигляду:
. (5.3)
У верхній точці траєкторії , і .
Середнє значення потужності за час підйому
, (5.4)
де – середнє значення за час підйому. Оскільки змінюється лінійно
. (5.5)
Підставивши (5.5) у (5.4), дістанемо:
.
Час падання дорівнює часові підйому. Середнє значення проекції швидкості за весь час польоту дорівнює нулю, і середнє значення потужності за весь час польоту .