Позначається векторний добуток на так: .

У

фізиці при визначенні напряму векторного добутку часто користу ються правилом правого гвинта (рис. 5): уявімо собі, що вектор , який перебуває на першому місці у добутку, повертається на найменший кут таким чином, щоб його напрям збігся з напрямом вектора ; векторний добуток напрямлений в той бік, у який би рухався гвинт з правою різьбою (тобто із стандартним напрямом різьби), якщо б голівка гвинта поверталася у тому ж напрямі, що й вектор .

Сформулюємо інакше правило визначення напряму вектора . Спочатку сумістимо початкові точки векторів та − це дозволить визначити їх площину. Вектор перпендикулярний цій площині; це означає, що векторний добуток перпендикулярний як векторові , так і векторові . Повернімо до суміщення з напрямом на менший з двох можливих кутів й зігнемо чотири пальці правої руки у тому напрямі, в якому повертаєься вектор ; тоді великий палець покаже нам, куди напрямлений вектор . Зауважмо, що в силу цієї угоди є вектором, протилежним векторові :

.

Отже, векторний добуток некомутативний. Векторний добуток будь-якого вектора на самого себе дорівнює нульовому вектору. Взагалі, векторний добуток двох колінеарних векторів дорівнює нульовому вектору, і навпаки, якщо векторний добуток дорівнює нульовому вектору, то співмножники колінеарні. Крім того,

(6)

, . (7)

Векторний добуток векторів та , виражений через координати співмножників в ортонормованому базисі, має вигляд:

, (8)

де використали співвідношення і таке інше.

З урахуванням співвідношень (6) та (7) рівність (8) набуває такого вигляду :

. (9)

Якщо Ви знайомі з визначниками, то Ви легко можете перевірити, що наступна формула:

, (10)

є еквівалентною формулі (9) й до того ж легше запам’ятовується.

Вектор називається подвійним векторним добутком. Він є компланарним з векторами і . Можна показати, що . Приклад 1

Розглянемо такий вектор:

.

1) Знайти довжину вектора .

2) Якою є довжина складової вектора на площині х0у?

3) Знайти скалярний добуток вектора на вектор .

4) Знайти векторний добуток .

Розв’язання:

Визначимо :

,

звідки випливає, що – це довжина вектора .

Вектор, який є складовою вектора на площині х0у, – це ; квадрат довжини цього вектора дорівнює . Довжина складової дорівнює .

Скалярний добуток

.

Векторний добуток

.

Приклад 2

Початкове значення швидкості дорівнює , кінцеве . Знайти: а) приріст швидкості , б) модуль приросту швидкості , в) приріст модуля швидкості .

Розв’язання:

Приріст швидкості

.

Модуль приросту швидкості

.

Приріст модуля швидкості

.

Приклад 3

Координати одного вектора дорівнюють (1,3,5), другого – (6,4,2), Знайти кут між векторами.

Розв’язання:

Вектор , вектор . Скалярний добуток

.

З іншого боку

,

звідки випливає, що

.

Модуль вектора

,

модуль вектора

.

Тоді

.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Два вектори задані так, що

.

Знайти та .

Відповідь: .

2. Знайти суму і різницю векторів .

Відповідь: .

3. Знайти скалярний добуток векторів і кут між векторами .

Відповідь: .

4. Вектор змінив напрям на протилежний. Знайти: .

Відповідь: .

5. Знайти векторний добуток двох векторів та .

Відповідь: .