Задачі для самостійного розв’язування

1. Платформа у вигляді диска радіуса м обертається по інерції з частотою хв.^-1. На краю платформи стоїть людина, маса якої кг. З якою частотою обертатиметься платформа, якщо людина перейде до її центра? Момент інерції платформи . Момент інерції людини обчислювати як для матеріальної точки.

Відповідь: хв.^-1.

2. На лаві Жуковського стоїть людина і тримає в руках стрижень довжини м і маси кг, який розташований вертикально вздовж осі обертання лави. Лава з людиною обертається з частотою . З якою частотою обертатиметься лава з людиною, якщо вона поверне стрижень у горизонтальне положення? Сумарний момент інерції людини й лави .

Відповідь: .

Приклад 4

Вертикально розташований однорідний стрижень маси і довжини може обертатися навколо свого верхнього кінця. У нижній кінець стрижня потрапила, застрягнувши, куля маси , що летіла горизонтально, внаслідок чого стрижень відхилився на кут . Вважаючи , знайти швидкість кулі під час польоту.

Розв’язання:

Під час удару систему куля – стрижень можна вважати замкненою, тоді для неї виконується закон збереження моменту імпульсу. Кулю вважаємо матеріальною точкою і її момент імпульсу відносно осі z:

. (4.1)

Момент імпульсу стрижня разом із кулею після абсолютно непружного удару відносно осі z:

, (4.2)

де – момент інерції стрижня відносно осі обертання, яка проходить через один з його кінців; – момент інерції кулі (матеріальної точки); – кутова швидкість стрижня безпосередньо після удару. З урахуванням співвідношень (4.1) та (4.2) закон зберігання моменту імпульсу відносно осі z матиме вигляд:

. (4.3)

Оскільки тертя в осі стрижня немає, то після удару механічна енергія системи зберігається. Кінетична енергія безпосередньо після удару дорівнює потенціальній енергії у крайньому положенні стрижня. Тобто:

, (4.4)

де – висота, на яку підіймається центр мас стрижня (точка С на рисунку 4.1). З формули (4.3) знайдемо кутову швидкість:

оскільки .

Тоді формула (4.4) набуває вигляду:

. (4.5)

З рисунка 4.1. випливає, що

.

Після підстановки в (4.5) дістанемо:

. (4.6)

З (4.6) випливає, що швидкість кулі

.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Горизонтально розташований дерев’яний стрижень маси кг і довжини м може обертатися навколо вертикальної осі, яка проходить через його середину. У кінець стрижня потрапляє й застряє у ньому куля маси г, що летіла перпендикулярно до осі і до стрижня з швидкістю . Визначити кутову швидкість , з якою починає обертатися стрижень.

Відповідь: .

2. Олівець довжини см, якого поставлено вертикально, падає на стіл. Яку кутову та лінійну швидкості матиме наприкінці падіння:

1. середина олівця;

2. верхній його кінець?

Вважати, що тертя є настільки значним, що нижній кінець олівця не ковзається. Відповідь: 1) , ; 2) , .

Приклад 5

Скільки часу скочуватиметься обруч (без ковзання) з похилої площини довжини м і висоти см?

Розв’язання:

Оскільки обруч котиться без ковзання (тобто немає сили тертя ковзання), його повна механічна енергія зберігається. У верхній точці похилої площини повна енергія дорівнює потенціальній енергії

. (5.1)

У нижній точці похилої площини повна енергія дорівнює кінетичній

енергії. Кінетична енергія вільного твердого тіла:

, (5.2)

де – момент інерції тіла відносно миттєвої осі, що проходить через його центр мас, – швидкість поступального руху центра мас тіла, – маса тіла, – кутова швидкість. Момент інерції обруча відносно миттєвої осі, яка проходить через його центр мас

, (5.3)

де – радіус обруча. Оскільки ковзання відсутнє, швидкість центра мас дорівнює лінійній швидкості обертального руху і зв’язана з кутовою швидкістю наступним чином:

. (5.4)

Після підстановки (5.3) та (5.4) у (5.2) дістанемо:

. (5.5)

З урахуванням (5.1) та (5.5) закон збереження енергії набуває вигляду:

, а . (5.6)

Оскільки рух обруча під дією сталих сил є рівноприскореним, то

. (5.7)

З формули (5.7) здобудемо час t і, підставивши швидкість з (5.6), дістанемо:

. (5.8)

Підставивши у (5.8) числові значення, дістанемо:

с.