4. Динаміка

4.1. Методичні вказівки до розв’язування задач з динаміки

При розв’язуванні задач з динаміки слід діяти наступним чином:

1. З’ясувати, з якими тілами взаємодіє розглядуване тіло. Відповідно встановити сили, які діють на це тіло.

2. Написати динамічне рівняння руху тіла у векторному вигляді. Якщо система, рух якої розглядається, складається з кількох зв’язаних одне з одним тел, таке рівняння пишеться для кожного з тіл окремо.

3. Перейти у кожному рівнянні від векторів до їхніх проекцій на відповідним чином обраний напрям. Може виявитися, що для рівнянь, що стосуються різних тіл, ці напрями виявитимуться різними. Якщо напрям якогось вектора наперед відомий, проекцію слід виражати через модуль вектора, узятий з відповідним знаком.

4. Розв’язати систему здобутих скалярних рівнянь.

4.2. Динаміка матеріальної точки і поступального руху тіла

Основне рівняння динаміки матеріальної точки (математичний вираз другого закону Ньютона):

,

де – маса матеріальної точки, – її швидкість, – вислідна сила.

,

де – сила, з якою діяло б на розглядувану матеріальну точку i-е тіло у відсутності інших тіл.

У проекціях на осі декартової системи координат:

,

де – проекції вектора на осі .

Третій закон Ньютона:

,

де – сила, з якою друга матеріальна точка діє на першу; – сила, що діє на другу точку з боку першої.

Імпульс (кількість руху) матеріальної точки:

.

Основне рівняння динаміки:

.

Імпульс системи:

,

де – імпульс i-ї частинки.

Основне рівняння динаміки для системи матеріальних точок має вигляд:

,

де – вислідна усіх зовнішних сил, .

Для замкненої системи матеріальних точок

.

Сила гравітаційного притягання, яка діє між двома матеріальними точками:

,

де – гравітаційна стала.

Однорідна сила ваги:

,

де – маса тіла, – прискорення вільного падання.

Пружна сила:

,

де – радіус-вектор, що характеризує зміщення частинки з положення рівноваги; – додатний коефіцієнт, який залежить від «пружних» властивостей тієї чи іншої конкретної сили.

Закон Гука:

,

де – деформація розтягання (стискання) пружини або стрижня.

Сила тертя ковзання:

,

де – коефіцієнт тертя ковзання, – сила нормального тиску, яка притискає поверхні, що труться, одна до одної. Сила напрямлена у бік, протилежний напрямкові руху даного тіла відносно другого.

Сила опору, що діє на тіло при його поступальному русі у газі чи рідині:

,

де – додатний коефіцієнт, характерний для даного тіла й даного середовища; – швидкість тіла відносно середовища.

Радіус-вектор центра мас механічної системи:

,

де та – маса та радіус-вектор i – ї частинки, – маса усієї системи.

.

Координати центра мас:

.

Рівняння руху центра мас:

,

де – вислідна усіх зовнішніх сил, які діють на систему; – маса всієї системи; – швидкість центра мас системи, .

Основне рівняння динаміки тіла змінної маси:

,

де – швидкість речовини, що приєднується (чи відокремлюється), відносно розглядуваного тіла. – реактивна сила.

Поступальна сила інерції, зумовлена поступальним рухом неінерціальної системи відліку:

,

де – прискорення неінерціальної системи відліку відносно інерціальної.

Відцентрова сила інерції:

,

де – кутова швидкість, з якою обертається неінерціальна система відліку;

– радіус-вектор, перпендикулярний до осі обертання і який характеризує положення частинки відносно цієї осі.

Сила Коріоліса, або коріолісова сила інерції:

,

де – швидкість частинки відносно системи відліку, яка обертається із сталою кутовою швидкістю .

Основне рівняння динаміки в неінерціальній системі відліку, яка обертається із сталою кутовою швидкістю навколо осі, яка переміщається поступально з прискоренням :

,

де – прискорення частинки відносно неінерціальної системи відліку.

Елементарна робота сили на переміщенні :

.

Робота на ділянці шляху від точки 1 до точки 2:

.

Робота пружної сили:

.

Робота однорідної сили ваги:

.

Потужність:

.

Потенціальна енергія частинки в однорідному полі сили ваги:

.

Потенціальна енергія пружного тіла при поздовжній деформації:

.

Зв’язок між силою і потенціальною енергією частинки у полі:

,

де – оператор «набла», .

Кінетична енергія частинки:

.

Кінетична енергія механічної системи:

,

де – маса всієї системи; – кінетична енергія механічної системи у системі відліку K; – кінетична енергія тієї ж механічної системи у системі відліку з початком відліку у центрі мас механічної системи, яка поступально рухається відносно системи відліку K із швидкістю центра мас .

Закон збереження механічної енергії системи:

,

якщо система замкнена і в ній немає дисипативних сил.