- •1. Методичні вказівки до розв’язування задач
- •2. Вектори
- •Позначається векторний добуток на так: .
- •Вектор називається подвійним векторним добутком. Він є компланарним з векторами і . Можна показати, що . Приклад 1
- •Приклад 2
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •3. Основи кінематики
- •3.1. Кінематика точки
- •3.2. Кінематика обертального руху
- •3.3. Приклади розв’язування задач з кінематики
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •4. Динаміка
- •4.1. Методичні вказівки до розв’язування задач з динаміки
- •4.2. Динаміка матеріальної точки і поступального руху тіла
- •4.3. Приклади розв’язування задач з динаміки матеріальної точки і поступального руху тіла
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •4.4. Динаміка твердого тіла
- •4.5. Приклади розв’язування задач з динаміки твердого тіла
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Приклад 5
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Задачі для самостійного розв’язування
- •Додаток
- •Основні одиниці сі
- •Приставки для утворення десяткових кратних і часткових одиниць
- •Деякі астрономічні величини
- •Похідні одиниці механічних величин в сі
- •Фундаментальні фізичні сталі
- •Список рекомендованої літератури
4.5. Приклади розв’язування задач з динаміки твердого тіла
Приклад 1
Матеріальну точку (частинку) маси кинули під кутом до горизонту з початковою швидкістю . Траєкторія польоту частинки лежить у площині ху (Рис. 1.1. Вісь z напрямлена «на нас»). Нехтуючи опором повітря, знайти залежність від часу:
моменту сили, яка діє на частинку;
моменту імпульсу частинки .
Обидва моменти беруться відносно точки киданння.
Розв’язання:
Момент сили відносно точки 0:
, (1.1)
де – радіус-вектор, проведений з точки 0 в точку прикладання сили. Векторний добуток можна подати у вигляді визначника
. (1.2)
Проекції радіуса-вектора (Див. Приклад 7. Частина 1. Кінематика):
(1.3)
Проекції сили:
. (1.4)
Підставимо співвідношення (1.3) та (1.4) у (1.2)
.
Вектор напрямлений «від нас» перпендикулярно площині креслення.
Основний закон динаміки для тіла, яке обертається навколо нерухомої точки:
.
.
Отже
.
Вектор дорівнює:
.
Його напрям збігається з напрямом вектора .
Задачі для самостійного розв’язування
Сила з компонентами (3, 4, 5) Н прикладена до точки з координатами (4, 2, 3) м. Знайти:
момент сили відносно початку координат,
модуль вектора ,
момент сили відносно осі z.
Відповідь:
1) .
Приклад 2
На східчастий блок (рис 2.1) намотані у протилежних напрямах дві нитки. На кінець однієї нитки діють сталою силою , а до кінця другої нитки прикріплений тягар маси . Радіуси та блока і його момент інерції відносно осі обертання відомі. Тертя немає. Знайти кутове прискорення блока.
Розв’язання:
На тягар маси діють сила ваги та сила натягу нитки . Іхні напрями вказані на рис. 2.2. Основний закон динаміки для тягаря маси у векторному записі має вигляд:
. (2.1)
Припустімо, що тягар рухається вниз, тоді рівняння (2.1) в проекціях набуває вигляду:
. (2.2)
Основний закон динаміки для блока, що обертається навколо осі z:
. (2.3)
Оскільки нитка не ковзається, тангенціальне прискорення точок на ободі колеса дорівнює прискоренню нитки й тягаря . Тобто . І оскільки нитка є нерозтяжною, то .
З урахуванням цих співвідношень рівняння (2.2) та (2.3) набудуть вигляду:
, (2.4)
. (2.5)
Після множення рівняння (2.4) на і додавання рівнянь (2.4) й (2.5) дістанемо
. (2.6)
Кутове прискорення блока
.
Задачі для самостійного розв’язування
Однорідний суцільний циліндр маси кг висить у горизонтальному положенні на двох намотаних на нього невагомих нитках (рис. 2.3). Циліндр відпускають без поштовху.
За який час циліндр опуститься на відстань см?
Якого натягу зазнає при опусканні циліндра кожна з ниток?
Відповідь: а) с, b) Н.
В установці, показаній на рис. 2.4, відомі маса однорідного суцільного циліндра , його радіус і маси тіл та . Ковзання нитки й тертя в осі циліндра немає. Знайти кутове прискорення циліндра і відношення натягів вертикальних ділянок нитки у процесі руху.
Відповідь: .
На горизонтальну вісь насаджені маховик і легкий шків радіуса см. На шків намотаний шнур, до якого прив’язали тягар маси кг. Опускаючись рівноприскорено, тягар пройшов шлях м за час с. Визначити момент інерції маховика. Масу шківа вважати нехтовно малою.
Відповідь: .
Однорідний циліндр маси кг і радіуса см в момент починає опускатися під дією сили ваги. Нехтуючи масою ниток, знайти:
кутове прискорення циліндра,
залежність від часу миттєвої потужності, яку розвиває сила ваги.
Відповідь: .
Приклад 3
На краю горизонтальної платформи, яка має форму диска радіуса м, стоїть людина маси кг. Маса платформи кг. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі, яка проходить через її центр. Нехтуючи тертям, знайти:
з якою кутовою швидкістю обертатиметься платформа, якщо людина йтиме вздовж її краю з швидкістю відносно платформи;
на який кут повернеться платформа, якщо людина піде вздовж краю і, обійшовши його, вернеться у вихідну точку на платформі.
Момент інерції людини обчислювати як для матеріальної точки.
Розв’язання:
Платформа з людиною являє собою замкнену систему, тому момент імпульсу цієї системи має бути сталим. Закон збереження моменту імпульсу відносно осі z у нерухомій системі відліку має вигляд:
, (3.1)
де – момент інерції людини, – момент інерції платформи, – кутова швидкість людини відносно платформи, – кутова швидкість платформи. В рівнянні (3.1) напрям вектора збігається з додатним напрямом осі z, а вектор напрямлений у протилежний бік. Момент інерції людини (матеріальної точки):
. (3.2)
Момент інерції платформи (диска):
. (3.3)
Кутова швидкість людини відносно платформи:
. (3.4)
Підставивши (3.2), (3.3) та (3.4) в (3.1), дістанемо:
. (3.5)
З виразу (3.5) знайдемо кутову швидкість платформи:
. (3.6)
Після підстановки числових значень у формулу (3.6) дістанемо:
.
Кут, на який повернеться платформа,
. (3.7)
За той самий проміжок часу людина в системі відліку, зв’язаній з платформою, повернеться на кут
. (3.8)
Підставляємо час, знайдений з виразу (3.8), у формулу (3.7). Тоді:
. (3.9)
Виконавши обчислення за формулою (3.9), знайдемо кут
.