!!!_МЕД_ФИЗИКА_2020.pdf

73

замкнутых контуров, включающих источник ЭДС с внутренним сопротивлением, которым можно пренебречь.

Iabd =Е / (R1+R2), и Iacd = Е / (RПП+RХ).

Подставим эти формулы в формулу для разности потенциалов

между точками в и с: φв – φс = (U2- Uх) = (Iabd * R2) – (Iacd * RX) = (Е* R2) / (R1+R2) – (Е * RX)/ (RПП+RХ) = {Е * R2* (RПП+RХ) - Е * RX

* (R1+R2)} / {(R1+R2) * (RПП+RХ)}. Теперь чтобы убедиться, когда эта разность потенциалов будет равна нулю, достаточно приравнять нулю числитель правой части этого уравнения: {Е * R2* (RПП+RХ) - Е * RX * (R1+R2)} = 0. После соответствующих преобразований получается формула:

.

Трех шариковый вискозиметр

В данной работе Вам предлагается познакомиться с особенностями течения неньютоновских жидкостей в сравнении с ньютоновскими.

Трех шариковый вискозиметр – на рисунке справа заполняется сначала водой. Измеряются времена истечения из каждого из трех шариков. Затем точно также проделывается опыт с неньютоновской жидкость – мыльным раствором.

Проведите эти опыты, заполните таблицу и установите, во сколько раз увеличивается время истечения (в среднем на каждый шарик) для той и другой жидкости.

Время истечения из шарика		Вода	Неньютоновская жидкость
Верхний (номер 1)
Средний (номер 2)
Нижний	(номер 3)
Теория.	Явления вязкости	жидкостей и газов проявляется в

возникновении силы внутреннего трения между слоями текущей

74

жидкости. Формула для величины силы внутреннего трения (формула Ньютона) может быть выведена теоретически. Ее вид:

Fвн.тр = η * ( V/ r)*S.

Здесь η - коэффициент вязкости (буква эта), (ΔV/Δr) - градиент скорости, S –площадь соприкасающихся слоев.

С другой стороны, исходя из условия стационарного течения

(смотри работу по медицинскому вискозиметру) можно вывести формулу, указывающую зависимость скорости слоя от расстояния

до оси трубы: V = (ΔP/4ηL) *( Rсос2 - r2 )

Из этой формулы следует в частности, что градиент скорости в том или ином сечении трубы в среднем будет тем больше, чем под большей разностью давлений вытекает жидкость:

dV/dr = -	P * r / 2ηL	или	dV/dr ~ P !!!
- градиент	скорости	прямо	пропорционально зависит от
разности давлений (ΔP).

Исходя из этого даже для воды, для которой динамическая вязкость постоянна, время вытекания одинакового объема не должно быть одинокого для 3-х шариков. По формуле Пуазейля

	V	R 4	*	P	* t , разность давлений	P с увеличением номера
		8		L
	шарика		–	уменьшается, поэтому t		- должно увеличиваться.

Действительно, для самого верхнего шарика величина градиента

давления P соответствует ρ*g*L1/LКАП, для		второго шарика это
L
величина меньше, так как L2 – меньше, для		третьего шарика это
величина еще меньше, так как L3 –	еще меньше (смотри рисунок).
Для неньютоновсой жидкости	в отличие от ньютоновской

коэффициент вязкости не является постоянным, а зависит от градиента скорости. Это также должно отразиться на временах вытекания жидкости из шариков одинакового объема. Для первого шарика, так как разность давлений максимальна – вытекание происходит с

наибольшим в среднем градиентом скорости. (соотношение dV/dr ~ P). Но для большего градиента скорости вязкость должна быть

75

меньше. Поэтому и для первого шарика время также меньше (вязкость – в знаменателе, а время в числителе). Для третьего шарика – наоборот - разность давлений меньше – градиент скорости в среднем – меньше – вязкость – больше, и в соответствии с формулой Пуазейля (вязкость стоит в знаменателе время в числителе) время должно получаться больше. В итоге от результатов работы следует ожидать такой закономерности:

Для воды – времена истечения с увеличением номера шарика увеличиваются в среднем на 20 процентов / шарик,

Для неньютоновской жидкости - на 30 процентов / шарик - за

счет и того и другого факторов, время t - должно увеличиваться

сильнее, чем для воды.

76

Дифференциалы функции одной и нескольких переменных.

Значение производной Y'(x) функции Y(x) позволяет указать,

……………………. ……………………………………………………..

Если производная Y'(x) принимает большое значение (вблизи

какой либо точки), - то ……………………………………
Строгое определение производной для функции Y(X)
Y' = Lim (ΔY / ΔX ), (при X стремящимся к нулю)
Прочитайте данную формулу
Укажите последовательность действий для	вычисления

производной "по определению" для функции Y=x2 Укажите производные основных элементарных функции

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

Укажите производные элементарных функции

(U + V) ' = …………… (U - V)' = ………………………..

(U * V)' = …………... (U / V)' = ……………………….

Сложной функцией называют функцию не от независимого аргумента х, а функцию Y1 от некоторой другой функции Y2. Производная сложной функции { Y = Y1(Y2(х) } равна произведению производных от каждой функции:

Y' = Y'1(Y2) * Y'1(x) Y'1(Y2) - это производная внешней функции, Y'1(x) – это производная внутренней функции..

Дифференциал функции это произведение производной функции на приращение аргумента dY = Y’ * Δx = Y’ *dx.

Для приближенного вычисления значения функции в некоторой точке приращение функции можно заменить дифференциалом функции:

Y( Xo + ΔX) ≈ Y(Xo) + Y'(Xo) * ΔX.

Это формула будет тем точнее, чем меньше приращение аргумента.

Функции нескольких переменных

Многие величины зависят не от одной, а сразу от нескольких величин. Так сила тока по закону Ома зависит и от напряжения, и от сопротивления: I= U/R. - при этом можно использовать запись

I= I(U,R))

Вобщем случае приняты обозначения U = U(X,Y,Z).

77

Такая запись и отражает тот факт, что величина U является функцией сразу трех независимых переменных - X,Y,Z.

Частные производные находят по тем же правилам, что и производные для функции одной переменной.

Если берут производную по аргументу "x", на другие
переменные y и z		смотрят как на постоянные числа!
Например,
U = x + xy2 - xyz4.		Тогда U'x = 1 + y2 - yz4 ,
U'y = 0 + x(2y) - xz4 , U'z = xy4z3…
Частный дифференциал, например, по переменной Х			это
произведение	частной производной по этой переменной		на
приращение	этой же переменной:
dUx = U'x *	x. (аналогично для других переменных)

Полный дифференциал это сумма частных дифференциалов: dU = dUx + dUy + dUz.

Графически функции двух переменных отображается поверхностью. Каждой паре значений Х и У соответствует одно значение U. Если фиксировать значение У, то можно получить срез – плоскость ХОU. Частной производной по аргументу Х будет соответствовать тангенс угла наклона касательной ОА. Если фиксировать значение X, то можно получить срез – плоскость УОU.

Частные дифференциалы используют для вычисления

погрешностей измерений !

Задание 1. Указать внешнюю и внутреннюю функцию

Задание 2. Укажите по рисунку численные значения приращения аргумента, приращения функции производной в точке А, дифференциала

78

Интегрирование – действие обратное нахождению производных

Понятие первообразной функции для функции f(x).

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если

F ' (x) = f(x).

Если вы знаете, что производная от функции y = Sin(x) равна функция Cos(x), то первообразной для функции Cos(x) является функция Sin(x).

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех ее первообразных, отличающихся на постоянную величину С. Принято записывать

∫ f(x)dx = F(x) + C

Таблица неопределенных интегралов в силу определения первообразной функции вытекает непосредственно из таблицы

производных.

Пример. Если (х3)' = 3x2, то ∫ 3x2dx = x3 + C или ∫ x2dx = x3/ 3 + C

Сущность любого метода интегрирования состоит в сведении заданного интеграла к табличному виду.

Метод замены переменной можно применить, если в подынтегральном выражении встречается сложная функция.

Пример: Требуется найти интеграл ∫ Sin4(x)* Cos(x)*dx. В под интегральном выражении видим сложную функцию Sin4(x). (степенная от тригонометрической):

1. Обозначим за новую переменную внутреннюю функция

Z = Sinx.

2. Найдем дифференциал новой переменной dZ = Z' * dx = Cosx * dx,

3. Выразим дифференциал старой переменной dx = dZ/Cosx ,

4. Подставим все в исходный интеграл:

∫ z4* Cosx*dz/Cosx.

Cos(x) - сократились, и получился табличный интеграл

∫ z4* dz = z5/5 +C.

Замечание. Ввиду того, что действие интегрирования является обратным нахождению производных под интегральное выражение f(x)dx должно представлять собой дифференциал (!) некоторой функции! Тогда ∫dZ = Z+C - какая бы при этом функция Z не была Выполните задания (на первообразную, интеграл, производную)

79

Понятие определенного интеграла.

Определенным интегралом от функции f(x) на интервале от a до b называют число - равное площади под графиком функции f(x) на отрезке ab: Эту площадь находят по формуле Ньютона-Лейбница, т.е. сначала находят первообразную, а затем берут их разность в

	точках b и a:	К нахождению площади под
	некоторым графиком сводятся многие задачи в физике.
	Площадь под графиком 1		совершенному
			перемещению,
	Площадь под графиком 2		изменению скорости
			тела
	Площадь под графиком 3		изменению импульса
		соответствует	тела,
	Площадь под графиком 4		совершенной над телом
			работы,
			электрическому заряду,
	Площадь под графиком 5		прошедшему по
			проводнику при токе I

80

Дифференциальные уравнения.

Основным критерием, является ли некоторое уравнение дифференциальным или нет – это вхождение в уравнение производной (Y’) или дифференциалов (dy и dx).

В простейшем случае дифференциальное уравнение содержит только саму производную Y’ = 10.

Более сложный случай это вхождение в уравнение еще и аргумента х. Например, Y’ = 10х +2.

Еще более сложный случай это вхождение в уравнение и производной Y’, и аргумента х, и самой функции у. Например,

х + уу' = 4, или xyy' = 3.

Принято записывать дифференциальное уравнение в общем виде f{х,у(х),y'(х)} = 0. или f{х,у(х),y'(х), ... y n(х)} = 0.

Замечание: y n(х) – так обозначена производная не n-го порядка.

Искомой в дифференциальном уравнении считается сама функция y. Функция Y(x)должна обращать исходное уравнение в тождество. Уравнение Y’ = 10 можно решить - простым интегрированием - иными словами необходимо записать первообразную функцию для постоянной величины. Это будет функция Y = 10x + С. Действительно производная от (10x + С)’= 10.

Аналогично решается простым интегрированием уравнение Y’ = 10х +2. Это будет функция Y = 10x2 +2х + С

	Основной закон механики в физике по своей математической
сути	является дифференциальным уравнением	относительно
перемещения тела S(t). Так как ускорение а(t) =		V'(t) = S''(t) -

является первой производной от скорости и второй производной от

перемещения, то имеем: S''(t)	=ΣF/m = mg/ m = 10. Поэтому и
получаются формулы для скорости V = x'(t) = 10t+Vo,
И для перемещения S S0 V0	* t	a * t2
	2

Для колебания груза на пружине дифференциальное уравнение имеет более сложный вид: m*x''(t) = - k*x(t).

Могут быть два вида решений: общее и частное решение. Общее решение содержит произвольную постоянную С (число произвольных постоянных соответствует порядку дифференциального уравнения).

81

Частное решение находят из общего решения путем подстановки в общее решение НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ типа y(x0) = y0.

Общее решение дифференциального уравнения геометрически соответствует множеству функций F(x), в

которые входит произвольная постоянная С. Частное решение - это какая то одна функция, график которой проходит через точку на плоскости XY, заданную начальными условиями.

Решим более сложный пример методом

разделения переменных: xyy' = 3. Приведем его к такому виду, чтобы можно было проинтегрировать и левую и правую части!

g(y)dy = f(x)dx,

Так как уравнение явно содержит производную y' необходимо умножить обе части уравнения на dx и учесть, что y'dx это дифференциал функции dy (y'dx = dy). Тогда получим: xydy = 3dx. Теперь следует разделить правую и левую части на x:

ydy = 3dx/х.	Получились	выражения, которые можно
интегрировать: ∫y*dy = ∫3* dx/х.		Общее решение будет:
	y = (6Lnx + C )1/2.
Решите аналогично уравнение y’		= 1/xy при начальном условии

y0(x0=2) = 3. Убедитесь, что частное решение будет следующим: y = (9 - 2Ln2 + lnx )1/2.

Ниже приводится способ приближенного решения этого же дифференциального уравнения. Для этого используется формула пошагового вычисления Y(x) с помощью дифференциала dy= dx/xy.

82

Нахождение характеристик дискретных случайных величин

Случайным событием называют событие, которое может произойти или нет в зависимости от множества факторов, учесть которые практически невозможно.

Прежде чем приводить пример введем понятие метода статистических испытаний. Положим в мешок несколько черных и несколько синих фломастеров, перемешаем их и дадим вытаскивать

их по одному, каждый раз помещая его обратно.
Может	получиться	такая	последовательность	событий:

С;Ч;С;С;Ч;Ч;С;С;С;C. То есть черных вытащили 3 раза, синих - 7 раз. В зависимости от результатов такого испытания можно сделать заключение о соотношении тех и иных фломастеров в наборе.

В данном примере число 3 следует понимать как число испытаний, в которых произошло событие А, а число 7 - как число испытаний, в которых произошло событие Б. Общее число испытаний n = 10.

Аналогично дается понятие случайной величины – это величина, которая может принимать то или иное значение, в зависимости от множества факторов, учесть которые практически невозможно. В приведенном примере событию А можно поставить в соответствие НОЛЬ, а событию Б – ЕДИНИЦУ.

За вероятность события А - РА принимают отношение числа испытаний (наблюдений), в которых это событие А произошло (m=3) к общему числу испытаний (n = 10): PА = mА/n. Число испытаний при этом должно быть достаточно большим.

В строгой теории следует давать определение вероятности с использованием предела отношения mА/n, а само отношение mА/n следует называть ОЦЕНКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. По сути это число является относительной частотой проявления события А, в то время как число m – абсолютная частота события А.

Свойством вероятности РА - является то, что вероятности любого события заключается в интервале 0 ≤ P ≤ 1 (так как ни n, ни m в определяющей вероятность формуле не могут быть отрицательными, причем всегда n > m). Вероятность невозможного события равна 0, достоверного события равна 1.

Если события составляют полную группу попарно несовместимых равновероятных событий. Например вероятность движения молекулы газа в направлении по оси ОХ (Р=1/6).В общем случае Р = 1/К, где К - число возможных исходов.