!!!_МЕД_ФИЗИКА_2020.pdf

83

По теореме сложения вероятностей если событие С включает в себя выполнение одного из двух несовместимых событий (А или В), то Р(С) = Р(А или В) = Р(А) + Р(В).

По теореме умножения вероятностей независимых событий если сложное событие С включает в себя выполнение двух независимых и несовместимых событий (А и В), то Р(С)= Р(А и В) = Р(А) * Р(В).

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Если сложное событие С включает в себя выполнение двух зависимых но несовместимых событий (А и В), то Р(А и В) = Р(А) * Р(В/А). Здесь Р(В/А) представляет собой условную вероятность события А при условии, что событие В состоялось. Например вероятность того, что мы вытащим из мешка с СЕМЬЮ синими и ТРЕМЯ черными фломастерами подряд два синих (не возвращая обратно в мешок первый) равна 7/10 * 6/9 = …

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Так в опыте “С;Ч;С;С;Ч;Ч;С;С;С;C”, указанном выше как результат статистического испытания (измерения) можно записать как 0 1 0 0 ….. этот вариационный ряд из 10 чисел, отдельные значения называют вариантами. Если варианты могут отличаться друг от друга на любое сколь угодно малое значение, то такая случайная величина называется непрерывной. Если варианты отличаются не на любое сколь угодно малое значение, то мы имеем дело с дискретной, случайной величиной. Обычно для дискретной случайной величины можно указать только счетное значение событий. Для непрерывной – несчетное. При обработке статистических данных следует четко различать число испытаний, в которых произошло то или иное событие, число событий которое может быть при том или другом испытании. Например при бросании монеты – возможны только 2 события (орел –решка), при бросании игральной кости – 6 событий. При одновременном бросании ПЯТИ монет – возможно 6 (!) событий. Догадайтесь какие это события.

Многие величины по своей природе являются непрерывными – например, рост человека, скорость молекул и пр. Однако в процессе измерений, ввиду погрешностей измерений такие величины "становятся " дискретными так как могут отличаться

84

друг от друга, например, на 1 см - для роста человека или на 30 м/с - для скорости молекул. Некоторые же величины уже по своей природе являются дискретными - число бактерий в некоторой пробе, число посетителей больницы и пр.

И для непрерывных, и для дискретных, случайных величин используются одни и те же характеристики:

Математическое ожидание (МО) – характеризует наиболее вероятное значение. Для дискретных величин: МО = Σ Xi * Pi .

Дисперсия D, среднеквадратическое отклонение (сигма σ ) -

указывающие на разброс случайной величины от математического ожидания. Сигма в отличие от дисперсии -

измеряется в тех же единицах что и сама случайная величина.

Для дискретных величин:
		D = Σ (Xi – Xср)2 * Pi,		σ	= √ D	.
Дискретная	случайная величина задается				таблицей
распределения.
Первая строка содержит
конкретные значения
вариант (Хi),	вторая

строка – частоты выпадения вариант (mi), третья строка - вероятности выпадения конкретных значений вариант (Рi).

Приведенная таблица получена как результат обработка данных по успеваемости 270 учащихся, у которых выявлены оценки 2 – в 30 случаях, 3 – 120 случаях, 4 – в 90 случаях и 5 – в 60 случаях.

Непрерывная, случайная величина задается не таблицей распределения, а функцией распределения f(x). Смысл функции f(x) состоит в том, что произведение

f(x)dx указывает вероятность попадания случайной величины в интервал dx - от значения х до значения х+dх.

f(x)dx = Р. (х0 < х < х0 + dх)

Достоверным событием при этом следует считать попадание случайной величины во весь возможный диапазон:

85

Так как произведение f(x)dx -представляет собой по форме дифференциал, то эта функция называется дифференциальной

функцией распределения.

Процедура

вычисления

характеристик

дискретных,

случайных величин. состоит в простом продолжении строчек таблицы распределения,

Для наглядного отображения дискретных, случайных величин используют не график вариационного ряда а

Гистограмму – по вертикали указывают вероятности, по горизонтали – сами значения Хi

Полигон частот – по внешнему виду полностью подобен гистограмме - разница лишь в том, что по вертикальной оси откладывают не вероятности, а частоты проявления вариант.

Куммуляту - вероятности сложных событий Р(X ≥ Xi) в

зависимости от хi.

Какой величиной можно считать пульс ? Под пульсом понимают частоту сердечных сокращений (ЧСС), измеряемую в ударах в минуту. Когда измеряют пульс вручную – например, за 15 или 30 секунд, то имеют дело со средним пульсом. Изменения среднего пульса не так сильно выражены как "мгновенного"

пульса. Под мгновенным пульсом следует понимать пульс,

пересчитанный по отдельным периодам сердечной деятельности. Например, если период Т = 0,78 сек, то ЧСС = 60 / 0,78 = 76,923077 уд/мин. Очевидно, что при высокой точности измерения пульса эту величину следует считать непрерывной случайной величиной. Однако при этом для пульса характерны и

86

строго детерминированные закономерности - дыхательные ритмы пульса, учащения во время нагрузок и прочее.

Точность измерения среднего пульса при измерении за 20

секунд и при	числе ударов - например, 23, когда	погрешность
измеренного числа 23 равна +/- 1 удар, то при		пересчете на
число ударов в минуту –
погрешность	составит
+/- 3 уд/мин. Таким
образом,	ЧСС =
69 +/- 3 уд/мин.

Мгновенное значение ЧСС по ЭКГ можно определить, сначала измерив, длительность кардиоцикла в делениях (миллиметрах). Зная отметку времени 1 секунда (пусть это 20 делений), следует пересчитать длительность кардиоцикла в секундах. Тогда Т = 19/20 = 0,95 сек, ЧСС = 60 / Т = 60 / 0,95 = 63,157895 уд/мин.

Однако данное измерение содержит погрешность. Ошибаясь на 1/2 деления шкалы, переведем это значение в секунды: dT = 0,5/20 = 0,025 сек. Так как ЧСС - это измерение косвенное, погрешность ЧСС находим по правилам через дифференциал:

d(ЧСС)=(60/Т2)*dT = (1/0,95 2)*0,025=1,66205 уд/мин= 1,7 уд/мин.

Целью настоящего занятия является ознакомление с приведенной теорией и практическому вычислению характеристик дискретных случайных величин предоставленных преподавателем.

Нахождение характеристик непрерывных случайных величин

На предыдущем занятии Вы изучили дискретные случайные величины. Было указано, что и дискретные и непрерывные величины имеют одни и те же характеристики: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Интересно сравнить формулы, по которым их можно вычислить в том и другом случае (и в том и другом случае σ = √ D):

Величина	Мат. ожидание	Дисперсия
Дискретная	МО = Σ Xi * Pi	D = Σ (Xi – Xср)2 * Pi
Непрерывная	MO =-∞ ∫+∞ X*f(x)dx.	D=-∞∫+∞(X–Xср)2*f(x)dx.

87
Сравнение формул указывает, что произведение	f(x)dx в

формулах для непрерывных величин соответствует вероятности попадания случайной величины в интервал dx - от значения х до

х+dх. f(x)dx = Р. (х0 < х < х0 + dх).

Самый простой пример непрерывной случайной величины это

равномерно распределенная случайная величина. Ее можно сгенерировать в приложении EXCEL командой =СЛЧИС().

Величина Х при этом может принимать любое значение в интервале от 0 до 1. График распределения при этом есть прямая линия, а площадь под графиком должна быть равно 1, что соответствует вероятности достоверного события.

Это универсальное правило справедливо для любых функции распределения непрерывной случайной величины. Ниже приведены следующие простые линейные графики:

Найдите значение f(x)макс для графика Б, а также сравните вероятности попадания величины Х в каждый из шести из указанных интервалов.

Более сложно выглядит график

закона Гаусса, имеющего фундаментальное значение. Его вид приведен справа. Два графика на рисунке соответствуют одинаковым математическим ожиданиям и разным

значениям дисперсии. Максимум функции f(x) приходится на

88

математическое ожидание, при этом чем больше дисперсия тем шире график (при этом он УЖЕ!!!). Функцию f(x) называют также функцией плотности вероятностей или дифференциальной функцией распределения ввиду того, что произведение f(x)dx указывает вероятность попадания случайной величины в интервал (x : x+dx).

Интегральная функция распределения F(x) выражается через функцию f(x) с помощью определенного интеграла:

Смысл этой	функции	-	вероятность
попадания	непрерывной			случайной
величины в	интервал		от	минус
бесконечности до значения x.				F(при x = a)
= 0,5. Максимальное значение				F(x) = 1
достигается	при	асимптотическом

стремлении х к бесконечности. Можно поставить в соответствие те графические характеристики, которые используются для

визуализации дискретных и непрерывных случайных величин. График дифференциальной функции распределения является аналогом гистограммы. График интегральной функции распределения является аналогом кумуляты.

Особенность непрерывной случайной величины, которая подчиняется

(описывается) законом Гаусса это то, что для нее можно сделать

прогностические заключения следующего вида:

Р (а - 2σ < x < а + 2σ) = 0,95 - это правило двух сигма.

(С вероятностью р = 0,95 величина х будет попадать в интервал +/-2σ от математического ожидания х = а ) Аналогично прочитайте строки

Р(а - σ < x < а + σ) = 0,68 - это правило одного сигма

Р(а - 3σ < x < а + 3σ) = 0,9973 - это правило трех сигма.

Приведенный материал имеет теоретическое значение, На практике характеристики непрерывных случайных величин находят, как и дискретных величин.

Задание по практической части. Обработайте ряд мгновенных значений частоты пульса, постройте гистограмму, куммуляту и найдите основные характеристики ряда.

89

Nпп	Хi	Nпп	Хi	Nпп	Хi	Nпп	Хi
1	62	26	69	51	72	76	75
2	63	27	69	52	72	77	75
3	64	28	69	53	72	78	75
4	65	29	69	54	72	79	75
5	65	30	69	55	72	80	75
6	65	31	69	56	72	81	75
7	65	32	69	57	72	82	75
8	66	33	70	58	73	83	76
9	66	34	70	59	73	84	76
10	66	35	70	60	73	85	76
11	66	36	70	61	73	86	77
12	67	37	70	62	73	87	77
13	67	38	70	63	73	88	77
14	67	39	70	64	74	89	77
15	67	40	71	65	74	90	77
16	68	41	71	66	74	91	78
17	68	42	71	67	74	92	78
18	68	43	71	68	74	93	79
19	68	44	71	69	74	94	79
20	68	45	71	70	74	95	80
21	68	46	71	71	74	96	80
22	68	47	71	72	75	97	80
23	68	48	71	73	75	98	81
24	69	49	71	74	75	99	81
25	69	50	72	75	75	100	82

Для выполнения задания проделайте действия:

1.Разбейте весь интервал значений Хi от минимального до максимального на 7 “карманов” – вычислите границы каждого кармана, среднее значение величины Х в каждом кармане.

2. Подсчитайте сколько раз величина Хi попадает в каждый карман.

Если величина Хi приходится на граничное значение карманов, то дайте 0,5 для одного и 0,5

для другого соседнего кармана. В этом случае число попадания величины Хi будет дробным.

90

3. Составьте таблицу следующего вида, соответствующую таблице распределения дискретной случайной величины. В этой таблице число mк представляет частоту проявления одного из 7 событий – попадание величины Хi в тот или иной карман, pк – вероятности проявления этих событий.

4. Примените формулы для вычисления математического ожидания (М) и дисперсии (D) дискретной случайной величины и вычислите эти характеристики. Для этого таблица дополнена нужными строками:

Математическое ожидание (М) получается суммированием строки

Хср(к)*рк Дисперсия (D) получается суммированием строки

(Хср(к)-М)2)*Рк.

5. По полученным данным постройте гистограмму.

6. Для построения кумуляты дополните таблицу 2 строкой с накопительными сложных событий Р(X ≥ Xк). Например:

	pк	0,1	0,2	0,3	0,2	0	0	0,2
	Накопительная	0,1	0,3	0,6	0,8	0,8	0,8	1
	вероятность

Основы выборочного метода. Обработка результатов измерений.

Под генеральной совокупностью понимают полный набор

объектов, данных, которые предстоит изучить статистическими методами. Это может быть весь контингент людей, для которых разрабатывается тот или иной лекарственный препарат. Однако исследовать этот "полный набор" практически немыслимо. Поэтому на практике производят выборку из генеральной совокупности - ограниченный набор объектов и изучают действие нового препарата для ограниченного контингента.

При этом выборка должна быть репрезентативной, то есть характеристики выборки должны достаточно близко соответствовать характеристикам генеральной совокупности.

К характеристикам генеральной совокупности относятся все те величины, о которых говорилось на предыдущем занятии -

91

математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Находятся они так, как было сказано выше.

К выборочным характеристикам относятся

Среднее значение (Xср) - как оценка математического ожидания,

Выборочное среднеквадратическое отклонение (Sx), ( а точнее полуширина доверительного интервала Х) - как оценка генерального значения среднеквадратического отклонения (σ).

(Выборочная дисперсия обозначается как Sx2.)

Эти характеристики вычисляются по формулам:

Здесь N - число элементов выборки - объем выборки, tСТ – коэффициент Стьюдента, который берут из таблицы, в зависимости от объема выборки (k) или числа степеней свободы

(f =k-1),	р -
доверительная

вероятность. Значения коэффициентов Стьюдента для доверительной вероятности р =

0,95 и различных чисел степеней свободы приведены справа. Для применения правила двух сигма мы должны обработать все элементы генеральной совокупности, при этом получится число, не отражающее какую либо вероятность заключения, то выборочный метод подразумевает - подобное заключение мы сможем дать по обработке всего короткой выборки с указанием при этом вероятности сделанного заключения.

Пример. В результате обработки 5-ти чисел: 5; 5,5; 6; 5; 6 получился ответ:

Ответ: х = 5,5 +/- 0,62 (р = 0,95).

92

Понятие прямых и косвенных измерений. При прямом измерении искомая величина определяется непосредственно по прибору. При косвенном измерении непосредственно измеряются вспомогательные величины (например, длина "а" и ширина "в" прямоугольника), косвенно измеряемая величина вычисляется по формуле - площадь прямоугольника S = а * в.

Понятие абсолютной и относительной погрешности.

Абсолютная погрешность (ΔХ) вводится для того, чтобы указать интервал значений, в котором должно содержаться истинное значение измеряемой величины. Например, если в единичном измерении получено Х = 4 +/- 0,5, то это означает, что истинное значение Х обязательно должно находиться в интервале 3,5 - 4,5. При проведении серии измерений, для которых найдено, что с вероятностью р = 0,95 Х = 4 +/- 0,5, то это означает, что истинное значение Х с вероятностью р = 0,95 находится в интервале 3,5 - 4,5.

Относительная погрешность Е(Х), вычисляют как отношение абсолютной погрешности к самой величине и выражают в процентах. Она используется для характеристики точности измерений:

Е(Х) = (ΔХ / Х ) * 100%.

Чем меньше эта погрешность, тем точность выше.

Разные приборы могут давать большую или меньшую приборную погрешности. Приборная погрешность характеризуется КЛАССОМ ТОЧНОСТИ ПРИБОРА (КТП) - это процент возможной приборной погрешности от максимального значения шкалы.

КТП = (ΔХприб / Хшк.макс. ) * 100%.

Например, если КТП=2, а максимальное значение шкалы амперметра равно 20 мА, то приборная погрешность измерения силы тока ΔIпр = 0,02*20 мА=0,4 мА. Для шкалы с максимальным значением 100мА эта погрешность будет больше.

Поэтому целесообразней пользоваться той шкалой прибора, на которой показания более близки к максимальному значению шкалы.

Приборная погрешность прямого измерения это либо

1/2 цены наименьшего деления, если стрелка прибора пробегает по шкале непрерывно, либо